Нужно найти производную второго порядка! Завтра зачет, помогите пж, с подробным решением и объяснением действий.

Для нахождения производной функции y = sqrt(a^2 - x^2) / x воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций. Обозначим функцию как y = u/v, где u = sqrt(a^2 - x^2) и v = x. Применим правило дифференцирования частного:

y' = (u' * v - u * v') / v^2

Найдём u' и v':

1. u = sqrt(a^2 - x^2)
u' = (1 / (2 * sqrt(a^2 - x^2))) * d/dx (a^2 - x^2) = (1 / (2 * sqrt(a^2 - x^2))) * (-2x) = -x / sqrt(a^2 - x^2)

2. v = x
v' = d/dx (x) = 1

Теперь подставим u' и v' в правило дифференцирования частного:

y' = ((-x / sqrt(a^2 - x^2)) * x - sqrt(a^2 - x^2) * 1) / x^2

Рассчитаем выражение:

y' = (-x^2 / sqrt(a^2 - x^2) - sqrt(a^2 - x^2)) / x^2
= (-x^2 - (a^2 - x^2)) / (x^2 * sqrt(a^2 - x^2))
= (-a^2) / (x^2 * sqrt(a^2 - x^2))

Производная функции y = sqrt(a^2 - x^2) / x равна:

y' = -a^2 / (x^2 * sqrt(a^2 - x^2))


____________________________

Найдем вторую производную функции y = sqrt(a^2 - x^2) / x

Начнем с первой производной:

y' = -a^2 / (x^2 sqrt(a^2 - x^2))

Обозначим для удобства z = a^2 - x^2. Тогда функция станет:

y' = -a^2 / (x^2 sqrt(z))

Теперь найдем вторую производную dy'/dx. Чтобы упростить вычисления, используем правило частного и правило цепочки.

Обозначим числитель функции y' как u = -a^2, а знаменатель как v = x^2 sqrt(z). Тогда:

(d(u/v)) / dx = (u' * v - u * v') / v^2

Найдем u' и v':

1. u = -a^2, константа, значит u' = 0.
2. v = x^2 sqrt(z). Найдем его производную, используя правило произведения:

v' = d(x^2 sqrt(z)) / dx = 2x sqrt(z) + x^2 * d(sqrt(z)) / dx

Чтобы найти d(sqrt(z)) / dx, используем правило цепочки:

d(sqrt(z)) / dx = 1 / (2 sqrt(z)) * d(z) / dx = 1 / (2 sqrt(z)) * (-2x) = -x / sqrt(z)

Таким образом:

v' = 2x sqrt(z) - x^3 / sqrt(z)

Теперь подставим всё в формулу для производной частного:

dy'/dx = (0 * v - (-a^2) * v') / v^2 = (a^2 * v') / v^2

Подставим v и v':

dy'/dx = (a^2 * (2x sqrt(z) - x^3 / sqrt(z))) / (x^4 z)

Упростим выражение для dy'/dx:

dy'/dx = (a^2 (2x sqrt(a^2 - x^2) - x^3 / sqrt(a^2 - x^2))) / (x^4 * (a^2 - x^2))

dy'/dx = a^2 * (2x * sqrt(a^2 - x^2) - x^3 / sqrt(a^2 - x^2)) / (x^4 * sqrt(a^2 - x^2) * sqrt(a^2 - x^2))

dy'/dx = a^2 * (2x (a^2 - x^2) - x^3) / (x^4 * (a^2 - x^2)^(3/2))

dy'/dx = a^2 * (2x a^2 - 2x^3 - x^3) / (x^4 * (a^2 - x^2)^(3/2))

dy'/dx = a^2 * (2x a^2 - 3x^3) / (x^4 * (a^2 - x^2)^(3/2))

dy'/dx = a^2 * (2a^2 x - 3x^3) / (x^4 * (a^2 - x^2)^(3/2))

dy'/dx = a^2 * (2a^2 - 3x^2) / (x^3 * (a^2 - x^2)^(3/2))

Вторая производная y" равна:

y" = (a^2 (2a^2 - 3x^2)) / (x^3 (a^2 - x^2)^(3/2))