Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Задача по стереометрии помогите пожалуйста

Иван Чуносов Ученик (125), на голосовании 1 неделю назад
В правильной треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол в 30 градусов. Найдите площадь описанной сферы
Голосование за лучший ответ
Ламриэ Мыслитель (9173) 1 месяц назад
Тр-к АДН: прямоугольный (ДН - высота пирамиды), угол ДАН = 30° (по условию).
Тогда ДН = b/2 как катет против угла в 30°. Обозначим h.
АН = АД * cos ДАН = b * cos 30 = b*(v3/2)
В правильной треугольной пирамиде точка Н - пересечение высот, медиан и биссектрис тр-ка АВС. Поэтому тр-к АНК - прямоугольный, угол КАШ = угол А/2 = 60/2 = 30°
Тогда АК = АН * cos КАШ = b*(v3/2) * cos 30 = b*(v3/2) * (v3/2) = b*(3/4)
Так как СК - медиана, АВ = АК*2 = b*(3/4)*2 = b*(3/2). Обозначим а.
Радиус сферы, описанной вокруг правильной пирамиды:
R = (3*h^2 + a^2) / (6*h) =
(3*(b/2)^2 + (b*(3/2))^2) / (6*(b/2)) =
(3*(b^2)/4 + (b^2*(9/4))) / (3*b) =
(12*b^2) / (12*b) = b
Площадь сферы: S = 4*π*R^2 = 4*π*b^2 (12,57*b^2 приблизительно)
Похожие вопросы