Решение, характеристический, Диф. уравнение, полином.

Ну крч линейное дифференциальное уравнение с кратными корнями характеристического уравнения. Давай представим, что у нас есть кратный корень λ. Если λ является корнем кратности k, то в общем виде характеристическое уравнение будет иметь вид:

(λ - r)^k = 0,

где r - это корень уравнения, а k - его кратность.

Тогда решение такого уравнения будет иметь вид:

e^(λx) + xe^(λx) + x^2e^(λx) + ... + x^(k-1)e^(λx).

Каждое слагаемое этого решения содержит степень x, начиная с 0 и заканчивая k-1, что делает его полиномом от x. Значит, решение дифференциального уравнения с кратными корнями характеристического уравнения выражается в виде полинома от x из-за наличия кратных корней и необходимости учесть все возможные степени x в решении.

Как понять кратные и полином?

Есть у вас линейный однородный диффур n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вы, допустим, нашли корни его характеристического уравнения, их m штук:
k1, k2,..., km.
и пусть m < n, т.е. некоторые корни кратные. Кратность j-го обозначим gj. Тогда ваше уравнение может быть переписано в виде:
(D - k1)^g1 (D - k2)^g2 ... (D - km)^gm y = 0.
D - оператор взятия призводной,
y - искомая функция.
Скобки эти можно переставлять местами. Интересуемся, например, корнем k2. Делаем замену:
y = exp(k2 x) z.
Подставляем в уравнение:
(D - k1)^g1 (D - k2)^g2 ... (D - km)^gm exp(k2 x) z = 0,
выносим экспонету за операторы:
exp(k2 x) (D + k2 - k1)^g1 (D + k2 - k2)^g2 ... (D + k2 - km)^gm z = 0,
сокращаем на экспоненту:
(D + k2 - k1)^g1 D^g2 ... (D + k2 - km)^gm z = 0,
оператор D^g2 переносим направо:
(D + k2 - k1)^g1 ... (D + k2 - km)^gm D^g2 z = 0,
и видим, что, если в качестве z взять:
z = x^n, n<g2,
то получится:
D^g2 z = 0,
и такое z окажется решением. Это значит, что:
y = x^n exp(k2 x)
решение исходного уравнения при n<g2. То же можно проделать с любым корнем характеристического уравнения.