Должна ли течь вода из кондиционера в этом месте?

если влажность высокая, то должна, или если режим сушки воздуха, например, после дождя... а может и не течь, то есть это не обязательно...

Да, но синяя изолента это уже перебор

В жаркую и влажную погоду на кранах может образовываться конденсат - это нормально.
Но если начнет образовываться иней - это сигнал о некорректной работе.