Математика. Принцип дирехле.

Для доказательства этого утверждения можно использовать метод математической индукции или принцип Дирихле. Я воспользуюсь принципом Дирихле, который гласит, что если \(n\) предметов распределены между \(m\) ящиками, и \(n > km\), то хотя бы один ящик содержит более чем \(k\) предметов.

В нашем случае предметы - это конфеты, а ящики - это дети. Мы имеем 7 детей (то есть \(m = 7\)) и 100 конфет (то есть \(n = 100\)). Мы хотим показать, что существуют 3 ребенка (то есть \(k = 3\)), которые вместе съели хотя бы 44 конфеты (то есть \(44 = 3 \times 14 + 2\)).

Разделим 100 конфет на 7 детей. Каждый ребенок получит по \(\left\lfloor \frac{100}{7} \right\rfloor = 14\) конфет, и останется 2 конфеты, которые не могут быть равномерно распределены.

Теперь, поскольку у нас есть 7 детей и мы хотим найти 3, которые вместе съели хотя бы 44 конфеты, рассмотрим следующую ситуацию:

- 4 ребенка получат по 14 конфет каждый, в сумме это \(4 \times 14 = 56\) конфет.
- Оставшиеся 3 ребенка получат вместе все оставшиеся конфеты, то есть \(100 - 56 = 44\) конфеты.

Таким образом, мы показали, что существуют 3 ребенка, которые вместе съели хотя бы 44 конфеты. Это доказывает утверждение.

Формулировка задачи не корректна.

Занумеруем детей числами 1, 2, 3, ..., 7. Любых 3-х из 7 можно выбрать 35-ю способами. Пусть первый съел Х1 конфет, ..., седьмой Х7 конфет. Тогда, допустим, что Х1 + Х2 + Х3 < 44 и так для всех различных троек. Если все эти неравенства сложить, то получим
21(Х1 + Х2 + Х3 + ...+ Х7) < 1540. Но по условию Х1 + Х2 + Х3 + ...+ Х7 = 100 =>
2100 < 1540, что, конечно же, неверно. Итак, допущение того, что любые трое съели < 44 конфет неверно! Значит, найдется тройка детей, которые съели не меньше 44 конфет. Всё доказано.
Теперь правильная формулировка задачи: 7 детей вместе съели 100 конфет. Докажите, что из них найдутся трое, которые вместе съели не менее 44 конфет.

Нет, здесь надо по другому строить противоречие. Семь маленьких пациентов всегда можно разбить на две тройки и одного "отдельно стоящего", назовем его так. На эту роль можно выбрать любого из семи. Если (это допущение, которое мы далее опровергнем) любые трое вместе сожрали по максимуму 43 конфеты, то "отдельный" сожрал по минимуму 100-43·2=14 и это верно в отношении любого из них.
Все они не могли съесть ровно по 14 конфет - тогда в сумме получится 14·7=98, не 100.
Значит, либо 2 человечка съели по 15, либо кто то один 16, а остальные по 14.
И в том, и в другом случае можно составить тройку, которая в три рыла съела 44 штуки. И получим противоречие с допущением.