Определённый интеграл вычислить

Для первого интеграла, мы можем заменить $x = 4\sin\theta$, тогда $dx = 4\cos\theta d\theta$ и $x = 0$ соответствует $\theta = 0$, а $x = 4$ соответствует $\theta = \pi/2$. Таким образом, интеграл преобразуется в:

$$\int_0^4 \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}}dx = \int_0^{\pi/2} \frac{(4\sin\theta)^2}{\sqrt{16 - (4\sin\theta)^2}}(4\cos\theta)d\theta = 16\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta$$

Используя тригонометрическую тождество $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$, получаем:

$$16\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta = 8\int_0^{\pi/2} (1 - \cos(2\theta))d\theta = 8\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/2} = 8\left[\frac{\pi}{2} - 0\right] = 4\pi$$

Таким образом, первый интеграл равен $4\pi$.

Для второго интеграла, мы можем заменить $x = \sin\theta$, тогда $dx = \cos\theta d\theta$ и $x = 0$ соответствует $\theta = 0$, а $x = 1$ соответствует $\theta = \pi/2$. Таким образом, интеграл преобразуется в:

$$\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}^3dx = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2\theta}^3\cos\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta$$

Мы можем раскрыть $\cos^4\theta$ с помощью формулы дублирования и тригонометрических тождеств:

$$\cos^4\theta = \frac{1}{8}(\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) + 3)$$

Таким образом, интеграл становится:

$$\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta = \frac{1}{8}\int_0^{\pi/2} (\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) + 3)d\theta = \frac{1}{8}\left[\frac{1}{4}\sin(4\theta) + 2\sin(2\theta) + 3\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{8}$$

Таким образом, второй интеграл равен $\frac{\pi}{8}$.

Ответ:
1) 4π;
2) 3π/16.