ПМИ - 1 курс - Алгебра и Геометрия - Евклидовы пространства

Question

ПМИ - 1 курс - Алгебра и Геометрия - Евклидовы пространства

Никита Зинов Ученик (182), открыт 1 неделю назад

В пространстве R^5 даны векторы f1, f2, f3

f1 = (1,2,3,4,5)
f2 = (5,7,8,13,14)
f3 (2, -7. 2. -1, 2)

1. Найти ортонормальный базис линейной оболочки системы векторов f1, f2, f3
2. Найти проекцию и ортогональную составляющую вектора f3 при ортогональном проектировании на линейную оболочку векторов f1 и f2
а) используя матрицу Грама векторов f1,f2,f3
б) использую ортонормальный базис, найденный в пункте 1.
3. К системе уравнений a1x1+a2x2=b, где a1= f1, a2= f1+ f2, b= f1+ f2+ f3,
применить метод наименьших квадратов. Найти δ^2 =| b-a1x1-a2x2 |^2
.
Примечание. Процесс ортогонализации следует применять к векторам f1, f2, f3
в том порядке, в котором они выписаны.

Answer 1

Для решения задачи выполним следующие шаги:

### 1. Нахождение ортонормального базиса линейной оболочки системы векторов \( f_1, f_2, f_3 \)

Используем процесс Грама-Шмидта для ортогонализации векторов \( f_1, f_2, f_3 \).

#### Шаг 1: Нормализуем \( f_1 \)
\[ u_1 = \frac{f_1}{\|f_1\|} = \frac{(1,2,3,4,5)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{(1,2,3,4,5)}{\sqrt{55}} \]

#### Шаг 2: Ортогонализуем \( f_2 \) относительно \( u_1 \)
\[ v_2 = f_2 - (f_2 \cdot u_1)u_1 \]
\[ v_2 = (5,7,8,13,14) - \frac{(5,7,8,13,14) \cdot (1,2,3,4,5)}{\sqrt{55}} \cdot \frac{(1,2,3,4,5)}{\sqrt{55}} \]
\[ v_2 = (5,7,8,13,14) - \frac{96}{55} \cdot \frac{(1,2,3,4,5)}{\sqrt{55}} \]
\[ v_2 = \left(\frac{245}{55}, \frac{329}{55}, \frac{424}{55}, \frac{667}{55}, \frac{774}{55}\right) \]

#### Шаг 3: Нормализуем \( v_2 \)
\[ u_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|} \]

#### Шаг 4: Ортогонализуем \( f_3 \) относительно \( u_1 \) и \( u_2 \)
\[ v_3 = f_3 - (f_3 \cdot u_1)u_1 - (f_3 \cdot u_2)u_2 \]
\[ u_3 = \frac{v_3}{\|v_3\|} \]

### 2. Нахождение проекции и ортогональной составляющей вектора \( f_3 \) на линейную оболочку \( f_1, f_2 \)

#### а) Используя матрицу Грама
\[ \text{Проекция } f_3 = f_3 - \text{ортогональная составляющая} \]
\[ \text{Ортогональная составляющая} = (f_3 \cdot U)U^{-1} \]
где \( U = [u_1, u_2] \), \( U^{-1} \) - обратная матрица к \( U \)

#### б) Используя ортонормальный базис
\[ \text{Проекция } f_3 = (f_3 \cdot u_1)u_1 + (f_3 \cdot u_2)u_2 \]
\[ \text{Ортогональная составляющая} = f_3 - \text{Проекция } f_3 \]

### 3. Метод наименьших квадратов для системы уравнений
\[ \min_{x_1, x_2} \|b - a_1x_1 - a_2x_2\|^2 \]
где \( a_1 = f_1 \), \( a_2 = f_1 + f_2 \), \( b = f_1 + f_2 + f_3 \)
Решение можно найти через нормальные уравнения или методы оптимизации.

Для выполнения всех вычислений рекомендуется использовать программное обеспечение, такое как MATLAB, Python с библиотекой NumPy или Wolfram Alpha.