Воспоминание: вывод формулы Бинэ для чисел Фибоначчи, понятный школьникам

Отчего дети до сих пор не проходят эту удивительную формулу? мы в XXI веке...

Помня x^2+x-1 = (x+1/2)^2 - {sqrt(5)/2}^2 = [x+{1+sqrt(5)}/2] * [x+{1-sqrt(5)}/2] =
= (x+a)*(x+b), можно найти прозрачное общедоступное изложение.
Если это не удается с ходу, особая драгоценность формулы
придаст сил более искусным искателям - и цель будет
достигнута)))

Свойство F(n+1) = F(n)+F(n-1) дает возможность быстро найти
S(m) = 1x + 1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + 8x^6 + 13x^7 + etc. + F(m)x^m
при m бесконечно большом. Для этого взглянем на S(m)*x + S(m)*x^2
=
1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 5x^6 + 8x^7 + etc. + F(m)x^(m+1) +++++
+++++ 1x^3 + 1x^4 + 2x^5 + 3x^6 + 5x^7 + etc. + F(m-1)x^(m+1) + F(m)x^(m+2)
=
1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5 + 8x^6 + etc. + F(m)x^(m) + F(m+1)x^(m+1) + F(m)x^(m+2)
=
S(m) - x + F(m+1)x^(m+1) + F(m)x^(m+2). Пусть m = +oo; при 0 < x < 1 выражение
{F(m+1)+F(m)*x} * x^(m+1) = {1 + x*(sqrt5-1)/2} * F(m+1)x^(m+1) будет состоять
из ограниченного "коэффициента" < (sqrt5+1)/2 и функции F(m+1)x^(m+1) <
< 2^(m+1)*x^(m+1), которая при m = +oo и достаточно малом Икс (в частности,
при 0 < x < 1/2) будет равна нулю. У нас остается S(oo)*x + S(oo)*x^2 = S(oo) - x;
тем самым S(oo) * (1-x-x^2) = x, отсюда при 0 < x < 1/2 будет S(oo) = x / (1-x-x^2).
Мы нашли сумму бесконечного ряда слагаемых F(n)*x^n, придав переменной
Икс некоторые границы. - В то же самое время x / (1-x-x^2) = -x / (x+a)(x+b),
где a = (1+sqrt5)/2 = 1.618etc., b = (1-sqrt5)/2 = -0.618etc. Заметим 1 < a < 2
и -1 < b < 0, то есть |a| > 1, |b| < 1. Так как a/(x+a) - b/(x+b) = (a-b)*x / (x+a)(x+b)
есть sqrt5*x / (x+a)(x+b), будет -x / (x+a)(x+b) = - [1/(1+x/a) - 1/(1+x/b)] : sqrt5 =
= [1/(1-ax) - 1/(1-bx)] : sqrt5. Чтобы обе дроби в квадратных скобках можно
было представить симметричными друг другу рядами, требуется соблюсти
два условия: |a|x < 1, |b|x < 1. Первое из них "жестче" - если выполнить его,
второе не потребует работы. (sqrt5+1)/2 * x < 1 означает x < (sqrt5-1)/2 (мы
думаем только об х > 0). Точные границы сходимости 0 < x < 0.618etc. чуть
шире чем использованные прежде (0 < x < 1/2). Раскладываем S(oo) в ряд:
x / (1-x-x^2) = [{1+ax+(ax)^2+(ax)^3+etc.} -- {1+bx+(bx)^2+(bx)^3+etc.}] : sqrt5 =
= [(1-1) + (a-b)*x + (a^2-b^2)*x^2 + (a^3-b^3)*x^3 + (a^4-b^4)*x^4 + etc.] : sqrt5,
где a = (1+sqrt5)/2, b = (1-sqrt5)/2 и 0 < x < (sqrt5-1)/2. Это в точности тот же
ряд, что и F(1)x + F(2)x^2 + F(3)x^3 + F(4)x^4 + etc., просуммированный (при
соблюдении точных границ для Икс) ранее... Так устанавливается правило
F(n) = (a^n - b^n) : sqrt5 = [{(1+sqrt5)/2}^n - {(1-sqrt5)/2}^n] : sqrt5.

Двойной урок по отысканию формулы Бинэ -
и дети целый месяц на крыльях!
Ж и т ь, а не существовать...