Найти площадь фигурой -П,ограниченной линиями

И где фигура

Где фигура

Это надо высчитать координаты для прямоугольной декартовой системы координат и затем найти площадь получившейся фигуры из координат?

Конечно! Давай найдем площади фигур, ограниченных заданными линиями.

**a) y = x + 1; y = √(2x + 1)**

1. **Найдем точки пересечения графиков:**
* x + 1 = √(2x + 1)
* Возведем обе части в квадрат: x² + 2x + 1 = 2x + 1
* Упростим: x² = 0
* x = 0
* Подставим x = 0 в любое из уравнений, найдем y = 1.
* Точка пересечения: (0; 1)

2. **Построим графики функций (рекомендую сделать это на бумаге).**

3. **Площадь фигуры:**
* Фигура ограничена сверху прямой y = x + 1, снизу - графиком y = √(2x + 1) на отрезке [0; 1].
* Используем формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций:
* S = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx (пределы интегрирования от 0 до 1)
* S = ∫(x + 1 - √(2x + 1)) dx (от 0 до 1) = (x²/2 + x - (1/3)*(2x + 1)^(3/2)) (от 0 до 1) = 1/6

**Ответ: S = 1/6**

**б) y = 1 + x² - |1|; x = 2; x = -2**

1. **Упростим уравнение:** y = x², так как |1| = 1.

2. **Построим графики функций.**

3. **Площадь фигуры:**
* Фигура симметрична относительно оси Oy. Найдем площадь правой части и умножим на 2.
* S = 2 * ∫x² dx (от 0 до 2) = 2 * (x³/3) (от 0 до 2) = 16/3

**Ответ: S = 16/3**

**в) y = -1 - x - x²; y = -1 + x**

1. **Найдем точки пересечения графиков:**
* -1 - x - x² = -1 + x
* Упростим: x² + 2x = 0
* x(x + 2) = 0
* x₁ = 0; x₂ = -2
* Найдем y для каждого x: y₁ = -1; y₂ = -3
* Точки пересечения: (0; -1), (-2; -3)

2. **Построим графики функций.**

3. **Площадь фигуры:**
* S = ∫(-1 + x - (-1 - x - x²)) dx (от -2 до 0) = ∫(2x + x²) dx (от -2 до 0) = (x² + x³/3) (от -2 до 0) = 4/3

**Ответ: S = 4/3**

**г) y = -x² - 6x + 4; y = x + 10**

1. **Найдем точки пересечения графиков:**
* -x² - 6x + 4 = x + 10
* Упростим: x² + 7x + 6 = 0
* (x + 1)(x + 6) = 0
* x₁ = -1; x₂ = -6
* Найдем y для каждого x: y₁ = 9; y₂ = 4
* Точки пересечения: (-1; 9), (-6; 4)

2. **Построим графики функций.**

3. **Площадь фигуры:**
* S = ∫(x + 10 - (-x² - 6x + 4)) dx (от -6 до -1) = ∫(x² + 7x + 6) dx (от -6 до -1) = (x³/3 + 7x²/2 + 6x) (от -6 до -1) = 125/6

**Ответ: S = 125/6**

**д) y = x² - 4x + 5; y = 5 - x**

1. **Найдем точки пересечения графиков:**
* x² - 4x + 5 = 5 - x
* Упростим: x² - 3x = 0
* x(x - 3) = 0
* x₁ = 0; x₂ = 3
* Найдем y для каждого x: y₁ = 5; y₂ = 2
* Точки пересечения: (0; 5), (3; 2)

2. **Построим графики функций.**

3. **Площадь фигуры:**
* S = ∫(5 - x - (x² - 4x + 5)) dx (от 0 до 3) = ∫(-x² + 3x) dx (от 0 до 3) = (-x³/3 + 3x²/2) (от 0 до 3) = 9/2

**Ответ: S = 9/2**