Математика 10-11 класс

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, найдем точки экстремума (минимума и максимума) и сравним значение функции в этих точках со значением на концах отрезка.

1. **Найдем производную функции:**

y' = (x-12)' * e^(x-6) + (x-12) * (e^(x-6))' = e^(x-6) + (x-12)e^(x-6) = (x-11)e^(x-6)

2. **Найдем критические точки:**

Приравняем производную к нулю и найдем корни:
(x-11)e^(x-6) = 0
Так как e^(x-6) всегда больше нуля, то решением будет x = 11.

Однако, x = 11 не принадлежит отрезку [7; 9], поэтому эта точка нас не интересует.

3. **Значения на концах отрезка:**

Вычислим значение функции на концах отрезка [7; 9]:

* y(7) = (7-12)e^(7-6) = -5e
* y(9) = (9-12)e^(9-6) = -3e^3

4. **Сравнение:**

Сравнивая значения y(7) = -5e и y(9) = -3e^3, видим, что y(9) < y(7), так как e^3 > e.

**Ответ:** Наименьшее значение функции на отрезке [7; 9] равно -3e^3, достигается в точке x = 9.