Xy’+y=2x^2 нужно решить диф уравнение

xy''''−y=2x2y

Решение дифференциального уравнения xy’ + y = 2x²
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его, используя метод вариации постоянной.
1. Приводим к стандартному виду:
Разделим обе части уравнения на x (предполагая, что x ≠ 0):
y’ + (1/x)y = 2x

2. Находим решение однородного уравнения:
Рассмотрим однородное уравнение:
y’ + (1/x)y = 0

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
dy/y = -dx/x
ln|y| = -ln|x| + C1
y = C/x

где C = e^C1 - произвольная постоянная.
3. Вариация постоянной:
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде:
y = C(x)/x

где C(x) - неизвестная функция.
Подставляем y и y' в исходное уравнение:
C'(x)/x + C(x)(-1/x²) + (1/x)C(x)/x = 2x

Упрощаем:
C'(x)/x = 2x

4. Находим C(x):
Умножаем обе части на x и интегрируем:
dC(x) = 2x² dx
C(x) = (2/3)x³ + C2

где C2 - произвольная постоянная.
5. Записываем общее решение:
Подставляем C(x) в выражение для y:
y = ((2/3)x³ + C2)/x

6. Упрощаем:
y = (2/3)x² + C2/x

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Ответ

1. Сначала решим соответствующее однородное уравнение \(xy' + y = 0\). Решение этого уравнения имеет вид \(y_h = Cx^{-1}\), где \(C\) - произвольная постоянная.
2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид \(y_p = Ax^2 + Bx + C\), где \(A\), \(B\), \(C\) - неизвестные коэффициенты.
3. Подставим \(y_p\) в исходное уравнение и найдем значения коэффициентов \(A\), \(B\), \(C\).
4. Общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму частного решения и общего решения однородного уравнения: \(y = y_h + y_p\).
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения \(xy' + y = 2x^2\) будет иметь вид:
\[y = Cx^{-1} + Ax^2 + Bx + C\]

JD.