Математический анализ 3 задачки

1) (cos2t)''= (-2*sin2t * (t'))' = -4*cos2t* (t)'*(t)'-2*sin2t*(t)''

2) (sin2t)''= (2*cos2t * (t'))' = -4*sin2t* (t)'*(t)'+2*cos2t*(t)''

Лучше сам разбирайся, в жизни пригодится.

Решение задач:
Задача 4
Найти вторую производную функции:
{ y = cos 2t,
{ x = sin 2t.

1. Находим первую производную dy/dx.
o Для этого продифференцируем y по t (y') и x по t (x'):
 y' = -2sin(2t)
 x' = 2cos(2t)
o Первая производная: dy/dx = y'/x' = (-2sin(2t))/(2cos(2t)) = -tan(2t)
2. Находим вторую производную d²y/dx².
o Используем формулу для производной от частного:
 (u/v)' = (u'v - uv')/v²
o u = -tan(2t) => u' = -2sec²(2t)
o v = 1 => v' = 0
o d²y/dx² = (u'v - uv')/v² = (-2sec²(2t) * 1 - (-tan(2t)) * 0) / 1² = -2sec²(2t)
Ответ: Вторая производная функции: d²y/dx² = -2sec²(2t)
Задача 5
Провести полное исследование функции и построить её график:
y = (x³ + 4) / x²

Полное исследование функции включает в себя следующие этапы:
1. Область определения: x ≠ 0 (знаменатель не может быть равен нулю)
2. Четность/нечетность:
o f(-x) = ((-x)³ + 4) / (-x)² = (-x³ + 4) / x² ≠ f(x) — функция не является четной
o f(-x) = (-x³ + 4) / x² ≠ -f(x) — функция не является нечетной
3. Периодичность: Функция не является периодической.
4. Асимптоты:
o Вертикальная: x = 0 (так как знаменатель обращается в ноль)
o Наклонная: y = x (так как степень числителя на 1 больше степени знаменателя)
5. Точки пересечения с осями:
o Ось Oy: не пересекает (x ≠ 0)
o Ось Ox: x³ + 4 = 0 => x = -∛4
6. Промежутки возрастания/убывания:
o y' = (x⁴ - 8x) / x⁴ = (x³ - 8) / x³
o y' = 0 при x = 2
o y' < 0 при x < 0 и 0 < x < 2 (функция убывает)
o y' > 0 при x > 2 (функция возрастает)
7. Экстремумы:
o x = 2, y = 3 — точка минимума
8. Выпуклость/вогнутость:
o y'' = 24/x⁴ > 0 при всех x ≠ 0
o Функция выпукла вниз на всей области определения.
9. Точки перегиба: нет
Построение графика:
На основе полученных данных строим график функции.
(Рекомендуется использовать графический калькулятор или программу для построения графиков).
Задача 6
Найти неопределенный интеграл:
∫ (x + cos x) / (x² + 2sin x) dx

1. Замечаем, что числитель является производной знаменателя:
o (x² + 2sin x)' = 2x + 2cos x = 2(x + cos x)
2. Используем подстановку:
o u = x² + 2sin x
o du = (2x + 2cos x) dx = 2(x + cos x) dx
o (1/2)du = (x + cos x) dx
3. Интеграл принимает вид:
o ∫ (1/2) du/u = (1/2) ∫ du/u = (1/2)ln|u| + C
4. Возвращаемся к исходной переменной:
o (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln|x² + 2sin x| + C
Ответ: ∫ (x + cos x) / (x² + 2sin x) dx = (1/2)ln|x² + 2sin x| + C

молись