Решить тригонометрическое уравнение

1. Анализ:

Уравнение содержит синус (sin) и косинус (cos) в квадрате, а также их произведение.
Это позволяет использовать тригонометрические тождества для преобразования и упрощения уравнения.
2. Преобразование с помощью тождества:

Используем тождество двойного угла для косинуса: cos(2x) = 1 - 2sin²(x).
Подставляем в исходное уравнение:
sin²x - 10sinxcosx + 21cos²x = 0
sin²x - 10sinxcosx + 21(1 - 2sin²(x)) = 0

3. Раскрытие скобок и упрощение:

Раскрываем скобки:
sin²x - 10sinxcosx + 21 - 42sin²(x) = 0

Сгруппируем похожие члены:
-41sin²(x) - 10sinxcosx + 21 = 0

Выносим общий множитель:
-1(41sin²(x) + 10sinxcosx - 21) = 0

4. Разделение на множители:

Уравнение верно при любом значении -1, поэтому можем сосредоточиться на выражении в скобках: 41sin²(x) + 10sinxcosx - 21 = 0
5. Выделение общего множителя:

Замечаем, что в первых двух членах есть общий множитель sin(x): sin(x)(41sin(x) + 10cos(x)) - 21 = 0
6. Факторизация методом группировки:

Можно применить метод группировки для факторизации выражения, но существует более быстрый способ с использованием тригонометрических тождеств.
7. Тождество суммы к произведению:

Распознаем выражение в скобках как сумму квадратов синуса и косинуса, которую можно преобразовать с помощью тождества суммы к произведению:
sin(x)(sin(x) + 7cos(x)) - 21 = 0

sin(x)[sin(x) + 7cos(x)] = 21

8. Решение уравнений:

Получаем два уравнения:
sin(x) = 0
sin(x) + 7cos(x) = 21
Решение первого уравнения:

sin(x) = 0

Это имеет решения для x, кратных π (включая отрицательные кратные):

x = nπ, где n - любое целое число

Решение второго уравнения:

sin(x) + 7cos(x) = 21

Это уравнение более сложное и может не иметь решений в действительных числах для всех значений sin(x) и cos(x). Рекомендуется использовать численные методы или графические методы для поиска решений этого уравнения.

Ответ:

Уравнение sin²x - 10sinxcosx + 21cos²x = 0 имеет следующие решения:

x = nπ, где n - любое целое число (из первого уравнения)
Потенциально другие решения в зависимости от значений sin(x) и cos(x), которые удовлетворяют sin(x) + 7cos(x) = 21 (из второго уравнения)