Пересекались ли интересы консулов в древнем Риме?

В термах

На прямую пересекались. Это два независимых друг от друга римских гражданина, получивших пополам власть над Республикой. У двух разных граждан цели могут быть разными, а могут быть и едиными. Если они разные, то это прямой конфликт интересов.

Прочти чем закончился триумвират, созданный в 60 году до нашей эры в Риме

Сопсно, именно поэтому консулов и избирали парами...

Консулы (их всегда избирали по 2 человека) в мирное время имели практически не ограниченную власть, которая длилась один год и "уравновешивалась" властью другого консула.

В военное время консулы (во всяком случае один из них) становился во главе войска и обладал неограниченной властью.