Задача по интервальным оценкам

Давайте разберемся в задаче и решении.

Суть задачи

Задача заключается в том, чтобы определить минимальный размер выборки студентов, необходимый для оценки среднемесячного бюджета с заданной точностью и надежностью.

Точность: Предельная ошибка средней (Δ) не должна превышать 20 у.е. Это означает, что мы хотим быть уверены на 95%, что наша оценка среднего бюджета не будет отличаться от истинного значения более чем на 20 у.е.
Надежность: Вероятность (1 - α) того, что истинное значение среднего бюджета попадет в наш доверительный интервал, должна быть 0.95.
Почему решение не принимают

Проблема в вашем решении заключается в том, что вы использовали значение квантиля распределения Стьюдента (t) для бесконечно большого объема выборки (1.98). Однако, в задаче требуется найти минимальный объем выборки, а для небольших выборок квантиль распределения Стьюдента будет больше.

Правильное решение

Определение квантиля: Поскольку мы не знаем точный объем выборки, начнем с предположения, что он достаточно большой, чтобы использовать квантиль нормального распределения z = 1.96 (для уровня доверия 0.95).

Расчет объема выборки: Используем формулу для расчета объема выборки при оценке среднего:

n = (z^2 * σ^2) / Δ^2

n = (1.96^2 * 100^2) / 20^2 = 96.04

Коррекция на распределение Стьюдента: Поскольку объем выборки получился не очень большим (96), необходимо учесть, что распределение выборочного среднего будет ближе к распределению Стьюдента. Для уровня доверия 0.95 и 95 степеней свободы (n - 1 = 95) квантиль распределения Стьюдента t ≈ 1.985.

Пересчет объема выборки:

n = (t^2 * σ^2) / Δ^2

n = (1.985^2 * 100^2) / 20^2 = 98.5

Округление: Округляем полученное значение до ближайшего целого числа, так как объем выборки должен быть целым.

Ответ: Минимальный объем выборки составляет 99 студентов.

Важные замечания:

При небольших объемах выборки распределение Стьюдента дает более точные результаты, чем нормальное распределение.
Чем меньше предельная ошибка (Δ) и чем выше уровень доверия (1 - α), тем больше должен быть объем выборки.
Надеюсь, это объяснение помогло вам разобраться в задаче! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.

Решение задачи о необходимом объеме выборки
Исходные данные:

Уровень достоверности: 95% (α = 0.05)
Предельная ошибка: 20 у.е. (Δ)
Среднее квадратичное отклонение: 100 у.е. (σ)
1. Определение степеней свободы:

Степени свободы (df) в данном случае неизвестны и должны быть вычислены на основе желаемого объема выборки (n):

df = n - 2

2. Итеративный расчет:

Для определения точного значения n необходимо использовать итеративный подход:

Начальное значение:
Выберите начальное значение n. Например, n = 100.

Вычисление t-квантили:
Найдите t-квантиль для заданного α (0.05) и df (n - 2).

Расчет нового n:
Подставьте t-квантиль, σ и Δ в формулу:

n = (t^2 * σ^2) / Δ^2

Сравнение:
Сравните полученное n с начальным значением.

Если они совпадают: это и есть искомое минимальное значение n.
Если они не совпадают: используйте новое n в качестве начального значения и повторите шаги 2-4.
3. Решение с помощью программы:

Использование статистических программ или онлайн-калькуляторов значительно упрощает задачу:

Введите исходные данные: α, Δ, σ.
Выберите тип теста: "t-тест для оценки среднего по случайной выборке".
Задайте желаемую точность (например, "с заданной точностью").
Программа автоматически вычислит минимально необходимое значение n.
Пример расчета в Excel:

Используйте функцию TINV для определения t-квантили:

=TINV(0.05, n-2)

Подставьте t-квантиль, σ и Δ в следующую формулу:

=ROUNDUP((t^2 * σ^2) / Δ^2, 0)

Изменяйте значение n в ячейке, где находится n-2, пока результат во второй формуле не совпадет с n.

4. Ответ:

Минимальный необходимый объем выборки для оценки среднего месячного бюджета студентов с заданной точностью составляет 99.