Когда можно сообщить руководителю ,что мне нужен выходной один день (желательно срочно)? Написать ?

Как нибудь

Заранее.

Для этого надо быть уверенной в том как быстро он его прочитает...

Конечно

Чем раньше, тем лучше.

Написать можете когда угодно, хоть ночью. Отвечать работодатель не обязан в нерабочее время. И, вообще, имеет полное право в отпуске без сохранения зарплаты отказать не зависимо от того, когда заявление написано

Здесь стоит понимать по какому графику Вы работаете и кто будет Вас замещать во время отсутствия. Если руководителю ещё нужно будет искать Вам замену на этот день, то чем раньше сообщите, тем будет лучше.