Поиск знаменателя геометрической прогрессии
Ученик на доске записал три числа, которые образуют геометрическую
прогрессию. Оказалось, что первое число, удвоенное второе и утроенное третье
образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической
прогрессии (отличный от 1).
JNND. b1+b2+b3=b1*(1+q+q^2); b1+2*b2+3*b3=a1+a1+d+a1+2*d)=3*a1+3*d=3*(a1+d);
6*b1*g=b1*(1+2*g+3*g^2); 6*g=1+2*g+3*g^2; 3*g^2-4*g+1=0;(3*g-1)*(g-1)=0; g=1/3;
1. Обозначения:
• Обозначим первый член геометрической прогрессии как a.
• Обозначим знаменатель геометрической прогрессии как q.
Тогда три числа, записанные учеником, это: a, aq, aq².
2. Условие арифметической прогрессии:
По условию, числа a, 2aq, 3aq² образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между соседними членами арифметической прогрессии постоянна. Поэтому мы можем записать:
2aq - a = 3aq² - 2aq
3. Решение уравнения:
Упростим уравнение:
a(2q - 1) = aq(3q - 2)
Поскольку знаменатель геометрической прогрессии не равен 1 (q ≠ 1), мы можем разделить обе части уравнения на aq:
2q - 1 = 3q - 2
Решая это уравнение, получаем:
q = 1
4. Проверка условия:
Мы получили, что q = 1. Однако, по условию задачи, знаменатель геометрической прогрессии не должен быть равен 1.
Вывод:
Задача не имеет решения, удовлетворяющего условию q ≠ 1. Невозможно подобрать знаменатель геометрической прогрессии, отличный от 1, чтобы удовлетворить условиям задачи.
Пусть первый член прогрессии b, а ее знаменатель q, тогда
b0 = b
b1 = b0·q = bq
b2 = b1·q = dq²
по условию задачи:
a0 = b0 = b
a1 = 2 b1 = 2bq
a2 = 3 b2 = 3bq²
где {a} - арифметическая прогрессия.
Тогда, принимая, что знаменатель арифметической прогрессии равен d, можно записать
a1 = a0 + d
a2 = a1 + d = a0 + 2d
Учитывая связь между членами геометрической прогрессии и арифметической прогрессии можно получить:
a0 = b
a1 = a0 + d = b + d
a2 = a0 + 2d = b + 2d
Или выражая a0, a1, a2 через b и q:
2bq = b + d
3bq² = b + 2d
Умножим первое уравнение на 2 и отнимем от него второе:
4bq - 3bq² = 2b + 2d - b - 2d
(4q - 3q²)·b - b = 0
(4q - 3q² - 1)· b = 0
Рассмотрим тут два случая
1) 4q - 3q² - 1 = 0
3q² - 4q + 1 = 0
Решаем полученное квадратное уравнение:
D = (-4)² - 4·3·1 = 16 - 12 = 4
q1 = (-(-4) - √4)/(2·3) = 2 / 6 = 1/3
q2 = (-(-4) + √4)/(2·3) = 6 / 6 = 1
2) b = 0, но в этом все числа будут 0, что противоречит условию задачи.
Проверка:
q = 1/3
геометрическая прогрессия - b b/3 b/9
арифметическая - b 2b/3 3b/9 -> b 2b/3 b/3
2b/3 - b = - b/3
b/3 - 2b/3 = -b/3
Видим, что число 1/3 дает решение искомой задачи
q = 1
геометрическая прогрессия - b b b
арифметическая - b 2b 3b
2b - b = b
3b - 2b = b
Видим, что число 1 дает решение искомой задачи
Ответ: 1/3 и 1.
Нужный вам выберете сами.