Сотрудничает ли служба ФЭС с МВД?

нет. и это не служба, а какая то коммерческая структура по оказанию юридических услуг

ФЭС в России не существует. На самом деле существует экспертная служба при следственном комитете, но, в отличии от того как показано в сериале, она не занимается самостоятельными расследованиями, а только проводит исследования, дает заключения и т. д

Да, ещё с 2063 года между ними подписан договор о совместной деятельности