Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.
цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.Высота цилиндра равна радиусу основания.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Дано: ОД = R, СД = ОД = R, площадь боковой поверхности цилиндра равна 5*√2. Найти площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности цилиндра = 2*ПИ*R*h, где h - высота цилиндра СД (по условию равна R)
Тогда 2*ПИ*R*R = 5*√2
Откуда R = √((5*√2) / (2*ПИ))
Площадь боковой поверхности конуса = ПИ*R*L, где L - образующая конуса (= О1Д).
Из прямоугольного тр-ка ОО1Д (прямоугольный, так как высота цилиндра О1О перпендикулярна основанию цилиндра) по теореме Пифагора:
О1Д = √(О1О^2 + ОД^2) = √(R^2 + R^2) = R*√2 = √((5*√2) / (2*ПИ)) * √2 = √(5 / ПИ). Решалось с учетом того, что О1О = СД (ось цилиндра равна его образующей) = R
Тогда площадь боковой поверхности конуса:
ПИ * √((5*√2) / (2*ПИ)) * √(5 / ПИ) = ПИ * √((5*5*√2) / (2*ПИ*ПИ)) =
√((5*5*√2) / 2) = 5*√(√2/2)
Или площадь боковой поверхности конуса равна = 5*√(1,414/2) = 5*0,841 = 4,204 (приблизительно)
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: S = 2πrh, где r - радиус основания, h - высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2, поэтому 2πrh = 5√2.
Так как высота цилиндра равна радиусу основания, то h = r.
Подставляем h = r в уравнение: 2πr^2 = 5√2.
Отсюда получаем r^2 = 5√2 / (2π).
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: S = πrl, где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.
Так как у нас есть общие основание и высота у цилиндра и конуса, то радиус основания и образующая конуса также будут равны: r = h = √(5√2 / (2π)).
Подставляем полученное значение радиуса в формулу для площади боковой поверхности конуса: S = π(r^2 + l^2)^(1/2).
S = π((5√2 / (2π)) + ((5√2 / (2π))^2))^(1/2).
S = π((5√2 / (2π) + 25/8π^2))^(1/2).
S = π(45√2 / 8π^2)^(1/2).
S = √(5√2 / 8).
Поэтому площадь боковой поверхности конуса равна √(5√2 / 8).
