Ряды Тейлора для функций

Тайлера здесь нет

Ограничение аргумента в ряду Тейлора для ln(1 + x)
Ограничение снизу
Ограничение снизу аргумента полинома в ряду Тейлора для ln(1 + x) (-1, 1] обусловлено несколькими причинами:
1. Свойства натурального логарифма: Натуральный логарифм ln(x) определен только для x > 0. Подставляя x = 0 в ряд Тейлора, мы получим ln(1) = 0, что верно. Однако при x ≤ 0 логарифм не определен, и ряд Тейлора теряет смысл.
2. Сходимость ряда: Ряд Тейлора для ln(1 + x) сходится в интервале (-1, 1]. Это означает, что сумма членов ряда приближается к значению функции ln(1 + x) по мере добавления новых членов. За пределами этого интервала ряд может расходиться, то есть его сумма не будет стремиться к определенному значению.
Ограничение сверху
Ограничение сверху аргумента полинома в ряду Тейлора для ln(1 + x) 1 также имеет несколько причин:
1. Свойства логарифма: Логарифмическая функция ln(x) монотонно возрастает на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух значений x1 и x2 в интервале (0, 1), где x1 < x2, будет выполняться неравенство ln(x1) < ln(x2).
2. Сходимость ряда: Ряд Тейлора для ln(1 + x) сходится быстрее всего в точке x = 0. Это означает, что для любого значения x в интервале (-1, 1) сумма n первых членов ряда Тейлора для ln(1 + x) будет ближе к значению ln(1 + x), чем сумма n первых членов ряда Тейлора для ln(1 + y), где y > 1.
3. Практическое применение: При вычислении значений ln(1 + x) с помощью ряда Тейлора обычно используют значения x, близкие к 0. Это связано с тем, что для таких значений x ряд сходится быстрее, и для достижения требуемой точности требуется меньше вычислений.
Заключение
Ограничение аргумента полинома в ряду Тейлора для ln(1 + x) (-1, 1] обусловлено как свойствами натурального логарифма, так и свойствами самого ряда Тейлора. Сходимость ряда в этом интервале и его быстрое сближение для значений x, близких к 0, делают его удобным инструментом для вычисления значений ln(1 + x).

1. Полином торчит в формуле Тейлора с остаточным членом, а ряд Тейлора - это степенной ряд, а не полином.
2. У ряда аргумент сверху ничем не ограничен. Снизу тоже. Формальному степенному ряду сходиться никто не приказывал же!
3. При подстановке x > 1 получается числовой ряд, который расходится в ТФДП по той причине, что последовательность его членов не сходится к нулю. Но в ТФКП всё еще намного красивее - у него просто радиус сходимости 1, полгодика обожди - увидишь сам. Расскажут.