Не понимаю Доказательство что множество вещественных чисел несчетно ???
Кто то может объяснить диогональный метод кантора? Т.е из допущения что мы могли выписать и пронумеровать от 1 до n все вещественные числа отрезка [0;1] :
1)0,a11 a12 a13...
2)0,a21 a22 a23...
...
n)0,an1 an2 an3...
мы можем построить новое число которое не вошло в наш список : 0,a11 a22 a33...ann. понятно что так можно продолжать до бесконечности и находить новые числа которые мы не пронумеровали ,но мы же можем их пронумеровать как n+1 ,n+2 ,n+3 и так до бесконечности.
Ведь такую аналогию можно провести с множеством натуральных чисел таких что n>2 мы можем числу 3 сопоставить номер 1 ,числу 4 сопоставить число 2 и так далее числу n сопоставить номер n-2 ,числу n+1 сопоставить номер n-1 . И в данном случаи все получается так же как и в ситуации с вещественными ,т.е мы постоянно находим новые числа которые мы не занумеровали и нумеруем их
суть в том, что даже если использовать только цифры 0 и 1, то окажется, что таких чисел больше, чем натуральных и биекции между ними не получается, ибо всегда найдётся какое то число без номера
Нет, конечно, с множеством натуральных такое не получится.
С аргументом Кантора всё не просто, а очень просто.
1. Мы не знаем, как задать функцию следования для десятичнодробной части.
2. Поэтому начнём перечислять в произвольном порядке:
,951778...
,270494...
,800915...
,665913...
,151029...
,190481...
,679438...
,314920...
,354913...
,884789...
3. Мы сделали предположение, что таким образом мы перечислили ВСЕ возможные десятично-дробные части.
4. А раз мы перечислили все, то комбинации каждого можем сопоставить натуральное число.
,951778... → 1
,270494... → 2
,800915... → 3
,665913... → 4
,151029... → 5
,190481... → 6
,679438... → 7
,314920... → 8
,354913... → 9
,884789...→ 10
Если наше предположение верно, то на каждую такую комбинацию можно повесить номерок. Соответственно, не будет такой комбинации, которой номерок не был бы присвоен.
А теперь смотрите, что делаем. От первого числа берем десятые, от второго сотые, от третьего тысячные и т.д. То есть, в нашем случае это ,97092161... И далее если цифра 9 - меняем на 0, если меньше 9 - прибавляем единицу. Получаем: ,08103272 . Это число отличается от первого члена на десятые, от второго числа на сотые, от третьего числа на тысячные и т.д. Т.о., оно отличается от каждого элемента списка. Значит оно не входит в этот список и ему не может быть присвоен номер. Но ранее мы сделали утверждение, что все возможные комбинации входят в наш список. Имеем противоречие. Следовательно, все возможные комбинации перечислить в нумерованном списке невозможно.
Теперь почему то же самое не работает с натуральными. Возьмём, к примеру, двузначные.
10
11
12
13
14
15
....
и т.д.
Сделаем утверждение, что мы перечислили все двузначные вообще. Из группы десятков также составим диагональное число. Возьмём от десяти первую цифру и от одиннадцати - вторую. Получим 11. По тому же правилу к каждой цифре прибавим по единичке. Получили 22. Но в списке двузначных чисел уже ранее перечислено 22. Получаем полное совпадение. Для действительных - не получаем совпадения,а для натуральных — получаем. Атака диагональным аргументом не разбивает нашего утверждения о счётности натуральных, следовательно множество натуральных счётно. Все натуральные можно перечислить нумерованным списком.