Магически-квадратные матрицы линейных операторов

Задумался о свойстве матрицы оператора быть магическим квадратом, и как это свойство может сохраняться при заменах базиса какого-то вида.
Теперь пытаюсь построить формальную задачу, дающую исчерпывающий ответ на мой неформальный вопрос.

Определение.
Невырожденную комплексную матрицу C назовем матрицей Очевидного Магического Подобия (омп-матрицей), если она представима в виде
C = SP, где S - скалярная матрица (т.е. вида лямбда*E), P - бисимметричная матрица перестановки (бисимметричная = симметричная относительно главной и побочной диагоналей).

Свойство.
Если A - магический квадрат, C - омп-матрица, то и, Очевидно, (C^-1)AC - магический квадрат.
Пример.
"Побочно-единичная" омп-матрица, составленная из индикаторов побочной диагонали, отображает магический квадрат симметрично относительно центра.

И теперь основной вопрос.
Для всякой ли невырожденной комплексной матрицы C, не являющейся матрицей Очевидного Магического Подобия, найдется комплексный магический квадрат A, для которого С^-1AC - не магический квадрат?