Геома! Сириус курты 8 класс

Задача. В треугольник ABC
вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне BC
. Стороны AB
и AC
касаются полуокружности в точках C1
и B1
соответственно. Докажите, что прямые BB1
и CC1
пересекаются на высоте треугольника.

Решение. Пусть A1
— основание высоты из вершины A
. Для доказательства того, что чевианы AA1
, BB1
и CC1
пересекаются в одной точке, проверим соотношение из обратной теоремы Чевы.



Поскольку треугольник остроугольный и все три основания чевиан лежат на сторонах, для этого требуется проверить соотношение
AB1B1C⋅BC1C1A⋅CA1A1B=1.
Отрезки
Выбрать
равны как отрезки касательных к окружности. Поэтому достаточно проверить равенство

Выбрать
.

Обозначим через O
центр полуокружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники
Выбрать
являются прямоугольными с общим острым углом
Выбрать
и, следовательно, подобными. По свойствам подобных треугольников,

BC1BA1=

Выбрать
.

Аналогично из подобия треугольников
Выбрать
получаем равенство

CB1CA1=

Выбрать
.

Поскольку B1O=C1O
как радиусы полуокружности, отсюда получаем требуемое соотношение.