Докажите, почему точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой?

Question

Докажите, почему точка Нагеля, инцентр и центроид лежат на одной прямой?

cretty pat Мастер (1699), закрыт 8 месяцев назад

Точка Нагеля - точка пересечения отрезков, исходящих из вершин треугольника и соединияющихся с точками касания вневписанных окружностей треугольника (угол и сторона противоположны)

Answer 1

Барицентрические координаты:
Центроида (1,1,1)
Инцентра (a, b, c) - следует из свойства биссектрисы
Точки Нагеля (p-a, p-b, p-c) - следует из того, что расстояние от вершины до точки касания вневписанной окружности равно полупериметру.
Эти три точки лежат на одной прямой, если координаты одной из них являются линейной комбинацией двух других. А это так:
p(1,1,1) = (a, b, c) + (p-a, p-b, p-c).
Более того, получается так, что в инцентре сосредотачивается вес a+b+c = 2p, а в точке Нагеля вес p-a+p-b+p-c = 3p - 2p = p. Поэтому инцентр в 2 раза ближе к центроиду, нежели точка Нагеля.

Подробнее см. в книжке Мякишева А. Г. "Элементы геометрии треугольника"

Answer 2

Даниил Гетов Мыслитель (6551) 8 месяцев назад

негель потому что негер, инцентр потому что ин по-английски "в", то есть в центре, центроид это типа как андроид

cretty patМастер (1699) 8 месяцев назад

что еще скажешь?

Даниил Гетов Мыслитель (6551) pretty cat, шышеннин амын сыгейым.

Павля КантеллиПрофи (846) 8 месяцев назад

На большее масла в голове не хватило, Митрофанушка?

Даниил Гетов Мыслитель (6551) Павля Кантелли, масло льют в унитазы заморские, что нонче именуются "иномарками".

Answer 3

BD = s - b, CD = s - c, s = (a+b+c)/2
AE = AF = s - a, BF = BD = s - b, CE = CD = s - c
AN = ((s-b)A + (s-c)B + aC)/(2s)
AI = (aA + bB + cC)/(2s)
AG = (A + B + C)/3
NG = AG - AN = ((2b-a)A + (2c-a)B + (2a-b-c)C)/(6s)
IG = AG - AI = ((2s-3a)A + (2s-3b)B + (2s-3c)C)/(6s)
NG = (2/3)IG => N, I, G лежат на одной прямой.