В ∆АВС проведены медианы. Каждая медиана треугольника делится точками А1, В1, С1, соответственно, в отношении 2:3

5:2. Указание: найти отношение А1М / АМ, где М точка пересечения медиан. Аналогичное будет для остальных вершин. И далее рассмотреть гомотетию относительно М.

Точка О - точка пересечения медиан. В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины (свойство медиан).
Рассмотрим тр-ки АОВ и А1ОВ1.
АО = 2/3 АА2 (по свойству медиан)
АА1 = 2/5 АА2 (по условию)
Тогда А1О = АО-АА1 = 2/3 АА2 - 2/5 АА2 = 4/15 АА2
АО / А1О = 2/3 АА2 / 4/15 АА2 = 5/2
Таким же образом можно доказать, что ВО/В1О = 5/2.
Угол АОВ общий для этих треугольников.
"Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны."
Значит, тр-ки АОВ и А1ОВ1 подобны. Отсюда следует, что АВ/А1В1 = 5/2
Аналогично можно доказать, что ВС/В1С1 = АС/А1С1 = 5/2
Значит и периметры (суммы сторон) тр-ка АВС и тр-ка А1В1С1 относятся как 5/2.