Геометрия 8 класс пожалуйста

Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось правильное решение.

Задача. В треугольник ABC
вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне BC
. Стороны AB и AC
касаются полуокружности в точках C1 и B1
соответственно. Докажите, что прямые BB1 и CC1
пересекаются на высоте треугольника.
Решение. Пусть A1
— основание высоты из вершины A
. Для доказательства того, что чевианы AA1
, BB1
и CC1
пересекаются в одной точке, проверим соотношение из обратной теоремы Чевы.
Поскольку треугольник остроугольный и все три основания чевиан лежат на сторонах, для этого требуется проверить соотношение AB1/B1C⋅BC1/C1A⋅CA1/A1B=1. Отрезки
AB1 и AC1
CB1 и BC1
BA1 и CA1 равны как отрезки касательных к окружности. Поэтому достаточно проверить равенство
AB1/A1B=C1A/CA1
BC1/BA1=CB1/CA1
BC1/C1A=B1C/AB1
Обозначим через O
центр полуокружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники

OC1B и OB1C
OC1B и AA1C
OC1B и AB1O
OC1B и AA1B
являются прямоугольными с общим острым углом
A
B
C
O
и, следовательно, подобными. По свойствам подобных треугольников,
BC1BA1=
C1OAA1
AA1C1O
BABO
Аналогично из подобия треугольников
OB1C и OC1B
OB1C и AA1B
OB1C и AC1O
OB1C и AA1C
получаем равенство
CB1CA1= B1OAA1
AA1B1O
CABO
Поскольку B1O=C1O
как радиусы полуокружности, отсюда получаем требуемое соотношение.