Где применяется сложение строк треугольника Паскаля?

Должно быть, много есть таких применений - расскажите о них.

Вот единственное применение, которое знаю.
Из общеизвестного старинного
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
etc.
при сложении строк по две возникает
новое чудо, послушное тому же правилу:
2 01
2 03 001
2 05 004 001
2 07 009 005 0001
2 09 016 014 0006 0001
2 11 025 030 0020 0007 0001
2 13 036 055 0050 0027 0008 0001
2 15 049 091 0105 0077 0035 0009 0001
2 17 064 140 0196 0182 0112 0044 0010 0001
2 19 081 204 0336 0378 0294 0156 0054 0011 0001
2 21 100 285 0540 0714 0672 0450 0210 0065 0012 0001
2 23 121 385 0825 1254 1386 1122 0660 0275 0077 0013 001
2 25 144 506 1210 2079 2640 2508 1782 0935 0352 0090 014 001
2 27 169 650 1716 3289 4719 5148 4290 2717 1287 0442 104 015 01
2 28 196 819 2366 5005 8008 9867 9438 7007 4004 1729 546 119 16 01
etc. etc. etc.
Пологие диагонали, восходящие справа налево,
дают возможность с быстротой молнии строить
формулы, выражающие 2cos(na) через 2cos(a),
- это вереницы коэффициентов таких формул.
(1)
(1 2)
(1 3)
(1 4 2)
(1 5 5)
(1 6 9 2)
(1 7 14 7)
(1 8 20 16 2)
(1 9 27 30 9)
(1 10 35 50 25 2)
(1 11 44 77 55 11)
(1 12 54 112 105 36 2)
(1 13 65 156 182 91 13)
(1 14 77 210 294 196 49 2)
(1 15 90 275 450 378 140 15)
(1 16 104 352 660 672 336 64 2)
(1 17 119 442 935 1122 714 204 17)
etc. означают, что при 2cos(a) = t
2cos(1a) = 1*t^1
2cos(2a) = 1*t^2 - 2*t^0
2cos(3a) = 1*t^3 - 3*t^1
2cos(4a) = 1*t^4 - 4*t^2 + 2*t^0
2cos(5a) = 1*t^5 - 5*t^3 + 5*t^1
2cos(6a) = 1*t^6 - 6*t^4 + 9*t^2 - 2*t^0
2cos(7a) = 1*t^7 - 7*t^5 + 14*t^3 - 7*t^1
2cos(8a) = 1*t^8 - 8*t^6 + 20*t^4 - 16*t^2 + 2*t^0
2cos(9a) = 1*t^9 - 9*t^7 + 27*t^5 - 30*t^3 + 9*t^1
2cos(10a) = 1*t^10 - 10*t^8 + 35*t^6 - 50*t^4 + 25*t^2 - 2*t^0
2cos(11a) = 1*t^11 - 11*t^9 + 44*t^7 - 77*t^5 + 55*t^3 - 11*t^0
2cos(12a) = 1*t^12 - 12*t^10 + 54*t^8 - 112*t^6 + 105*t^4 - 36*t^2 + 2*t^0
2cos(13a) = 1*t^13 - 13*t^11 + 65*t^9 - 156*t^7 + 182*t^5 - 91*t^3 + 13*t^1
etc.