Гражданским лицам в органе ФСИН, дают ли бронь от мобилизации ? (не служба)

Нет!

С чего бы ?

Бронь не дают за службу или за работу, бронь дают на конкретные должности положенные по штату учреждения. И каждый раз этот вопрос решается на уровне штатной положенности, и каждый раз решение по бронированию могут быть различными. На ваш вопрос никто не ответить точнее, чем - может быть да, а может быть и нет.