Задание 13 ЕГЭ профиль

Уравнение: (3 * ctg^2(x) - 1) * sqrt(5 * sin(x)) = 0

Рассмотрим два множителя по отдельности:

3 * ctg^2(x) - 1 = 0
sqrt(5 * sin(x)) = 0
Решение первого уравнения:

3 * ctg^2(x) - 1 = 0 ctg^2(x) = 1/3 ctg(x) = ±1/sqrt(3)

ctg(x) = 1/sqrt(3) и ctg(x) = -1/sqrt(3) соответствуют следующим значениям углов:

x = pi/6 + pi * n и x = 5pi/6 + pi * n, где n принадлежит Z

Решение второго уравнения:

sqrt(5 * sin(x)) = 0 sin(x) = 0 x = pi * n, где n принадлежит Z

Задание 13б)

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу [-7pi/2; -2pi].

Для ctg(x) = 1/sqrt(3):

x = pi/6 + pi * n

Найдем подходящие значения n:

pi/6 + pi * n должно принадлежать интервалу [-7pi/2; -2pi].

Для ctg(x) = -1/sqrt(3):

x = 5pi/6 + pi * n

Найдем подходящие значения n:

5pi/6 + pi * n должно принадлежать интервалу [-7pi/2; -2pi].

Для sin(x) = 0:

x = pi * n

Рассмотрим значения n, которые соответствуют интервалу:

pi * n должно принадлежать интервалу [-7pi/2; -2pi].

Рассчитаем все возможные корни и выберем подходящие:

x1 = -11pi/6, x2 = -7pi/6, x3 = -2pi

Итак, корни уравнения, которые принадлежат указанному интервалу:

x = -11pi/6, -7pi/6, -2pi

Область определения:
-5*sin(x) >= 0
sin(x) <= 0
x = [-pi-2*pi*k; 0-2*pi*k], где k = 0,1,2,3,...

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
3*(ctg(x))^2-1 = 0
3*(ctg(x))^2 = 1
(ctg(x))^2 = 1/3
ctg(x) = 1/(V3)
x = pi/3 - pi*k, где k = 0,1,2,3,...
В указанный в условии интервал входит корень при k=3, т.е. x = pi/3-3*pi = -8*pi/3

-5*sin(x) = 0
sin(x) = 0
x = -pi*k, где k = 0,1,2,3,...
В указанный в условии интервал входят корни при k=2 и k=3, т.е. x=-3*pi и x=-2*pi

Ответ: x1=-3*pi; x2=-8*pi/3; x3=-2*pi

А ИИ, как обычно, написал чушь.