Определение подкольца кольца

"Разве это не будет такое подмножество кольца, которое отвечает аксиомам кольца?"

Будет. Именно это и есть определение подкольца.

Эндоморфизмы тут пока что ни при чем. Ты сперва разберись с теорией колец, чтобы понять, какие именно кольца могут быть ядрами и образами гомоморфизма заданного тебе кольца.

Когда математик берется за теорию категорий, у него уже окончательно едет крыша (согласно Лурке). И чтоб эта теория категорий не казалась при изучении совсем жуткой абстракцией, неплохо бы понимать теорию групп, теорию колец, теорию метрических пространств, топологических, линейную алгебру и т.п.
Чтоб между всеми этими теориями ты был способен САМ строить какие-то умеренно простые аналогии. Вот если такого рода аналогии ты строить готов, то можно за теоркат браться.