Почему разбиение множества индуцирует отношение эквивалентности на нем

Ну.. отношение эквивалентности - это подмножество декартова квадрата рассматриваемого множества. Как я понял, дело обстоит вот так:
Разбиваем наше множество на Х_i; Разбиение предполагает, что пересечение наших множеств равно нулю. Возьмём какое то подмножество X_k. Мы можем считать его элементы эквивалентными друг другу. Тогда, взяв декартов квадрат X²_k получим пары элементов. Если теперь объединить все такие квадраты подмножеств X²_k, то получим в итоге декартов квадрат всего множества Х. Это уже будет бинарным отношением по определению.

Теперь нужно доказать свойства.. И, если не ошибаюсь, если взять за бинарное отношение весь декартов квадрат множества, то это автоматически будет отношением эквивалентности.

Но мне кажется это логически неверным(в плане как доказательства). Правильнее, наверное, будет так: мы же положили, что элементы Х_i эквивалентны. И т.к. при возведении подмножества в квадрат, мы получали как раз таки всевозможные эти наборы пар, то при объединении всех таких подмножеств, мы действительно получим все такие пары, просто потому что в подмножествах Х²_i они уже как отношения эквивалентности по свойствам идут. Верно? То есть подмножества Х_i при возведении в квадрат автоматически становятся отношениями эквивалентности. И это как раз скорее следует из предыдущего абзаца. То есть мы взяли декартов квадрат от всего подмножества X_k, поэтому все элементы декартова квадрата подчиняются условиям отношения эквивалентности. В общем, подправьте, если я не прав в чем то..

Если теперь объединить все такие квадраты подмножеств X²_k, то получим в итоге декартов квадрат всего множества Х

Касательно моих слов ещё. Нет, мы не получим весь декартов квадрат множества Х. Т.к. в отношения вступали у нас только элементы своих подмножеств Х_i

Хотя сперва даже скорее будет так: мы возводим подмножество в декартов квадрат, а потом убеждаемся, что все элементы пар находятся в отношениях эквивалентности друг с другом