Матанализ первый курс. Помогите посчитать множество

Иди овец считай. Больше пользы будет. Попомнишь мои слова

что такое "посчитать множество"?
что такое "sup"?

подозреваю, задача звучит так:
пусть есть множество Z = { z : z = x + y, x ∊ X, y ∊ Y }, причем множества X и Y ограничены сверху.
нужно доказать, что его точная верхняя грань (обозначается sup Z) является суммой точных верхних граней множеств X и Y:
sup Z = sup X + sup Y

то, что sup X + sup Y является верхней гранью для множества Z, очевидно -- берём сумму произвольных элементов x + y, заменяем каждое слагаемое бОльшим значением, получаем верное равенство:
∀ x ∊ X, ∀ y ∊ Y : x + y < sup X + sup Y

проблема лишь в том, чтобы доказать, что sup X + sup Y является ТОЧНОЙ верхней гранью для множества Z.

докажем от противного (правда, c использованием принципа полноты , но это не критично)

предположим, что sup Z < sup X + sup Y.

обозначим ε = sup X + sup Y - sup Z
(грубо говоря, ε -- это длина отрезка между точками supX+supY и supZ )

вспомним, что в любой окрестности точной верхней грани множества есть элементы этого множества. значит:
в ε/2-окрестности элемента sup X найдётся элемент x ∊ X такой, что x > sup X - ε/2
в ε/2-окрестности элемента sup Y найдётся элемент y ∊ Y такой, что y > sup Y - ε/2

для этих элементов получаем:
x + y > (supX - ε/2) + (supY - ε/2) = supX + supY - ε = sup Z

получили противоречие с определением точной верхней грани, это противоречие выглядит так:
∃ z : z > sup Z

значит, наше предположение не верно, и sup Z = sup X + sup Y