Может быть, кто-то знает быстрый и нетрудный путь...

Как можно придти к (m^4+-8mn^3)^3 + (4n^4-+4nm^3)^3 = [8n^6+-20(mn)-m^6]^2 ?

Эта формула возникает при решении ур-я A^3 + B^3 = C^2 в целых числах, если
рассмотреть случай, когда А и В (без общего множителя) имеют разную четность.
A+B = p и A-B = q нечетные числа > 0 (у нас A > B), потому A = (p+q)/2, B = (p-q)/2;
будет [(p+q)/2]^3 + [(p-q)/2]^3 = C^2, то есть (p+q)^3 + (p-q)^3 = 8C^2, откуда
2p^3 + 6pq^2 = (2C)^2, то есть p * (p^2+3q^2) = (2C)^2. Важен тот вариант,
когда p не делится на 3. Нечетные p и q взаимно просты (не содержат общего
множителя), потому что их сумма 2А и разность 2B, - в которых сохранились бы
все общие множители чисел p и q, - одинаковых нечетных множителей не имеют.
Тогда в скобке p^2+3q^2 не будет множителей, свойственных "коэффициенту" p;
в силу этого "коэф-т" и скобка взаимно просты, и ради квадратной правой части
необходимо взять p = s^2 и p^2+3q^2 = t^2, где p,q,t свободны от общих мн-лей. (t+p) * (t-p) = 3q^2; здесь две скобки нечетны - и в/п (в их сумме и разности нет
общих нечетных множителей). Видим два пути: I) t + p = u^2, t - p = 3v^2, тогда
t = (u^2+3v^2)/2 и p = (u^2-3v^2)/2 = s^2, но второе неосуществимо, так как
2s^2 + 3v^2 = u^2 не складывается по модулю 3; II) t + p = 3u^2, t - p = v^2,
тогда t = (3u^2+v^2)/2 и p = (3u^2-v^2)/2 = s^2, что ведет к v^2 + 2s^2 = 3u^2
во взаимно простых числах. Но тогда v = u + m, s = u - n, (u+m)^2 + 2(u-n)^2 =
= 3u^2, и остается (m^2+2um) + 2(n^2-2un) = 0, откуда (4n - 2m) * u = m^2 + 2n^2.
Тем самым u = (m^2+2n^2)/(4n-2m), v = u + m = (4mn-(m^2-2n^2)) / (4n-2m),
s = u - n = ((m^2-2n^2)+2mn) / (4n-2m), где m и n таковы, что u,v,s по-прежнему
взаимно просты. Можно разрешить любые m и n, введя удаление общих
множителей посредством делителя k: тогда получится
u = (m^2+2n^2) : k, v = [4mn - (m^2-2n^2)] : k, s = [(m^2-2n^2) + 2mn] : k.
Возвращение:
p = s^2 = [(m^2-2n^2)^2 + 4mn(m^2-2n^2) + 4(mn)^2] : k^2 =
= [m^4 + 4nm^3 - 8mn^3 + 4n^4] : k^2,
q = uv = [4mn(m^2+2n^2) - (m^4-4n^4)] : k^2 =
= [-m^4 + 4nm^3 + 8mn^3 + 4n^4] : k^2,
после чего
A = (p+q)/2 = (8nm^3 + 8n^4) : 2k^2 = (4nm^3 + 4mn^3) : k^2,
B = (p--q)/2 = (2m^4 - 16mn^3) : 2k^2 = (m^4 - 8mn^3) : k^2,
не рассказывая о мучительном отыскании С.

Помогите найти простую дорогу к формуле.