Научите рассуждать не путаясь в трудностях

Question

Научите рассуждать не путаясь в трудностях

Леонид Зайцев Мыслитель (7030), на голосовании 1 месяц назад

A^3 + B^3 = C^2 (случай, когда A и B - числа разной четности без общего множителя и A+B не кратно 3-м) как изложить доступно?

Назвав A+B = p и A-B = q (это нечетные числа), замечаем p+q = 2A, p-q = 2B.
Если бы у p и q были общие множители, тогда они "светились" бы внутри A и B одновременно, но этого не видим. Заново: [(p+q)/2]^3 + [(p-q)/2]^3 = С^2 есть
(p+q)^3 + (p-q)^3 = 8C^2, потому p * (p^2 + 3q^2) = (2C)^2, где p не кратно трем.
Простые множители "коэф-та" p и скобки p^2+3q^2 разные (из скобки нельзя
вынести ни одного множителя, свойственного числу р); поскольку в правой
части полный квадрат, будем иметь p = s^2, p^2 + 3q^2 = t^2, где p,q,t - в/п
числа. Имеем t^2 - p^2 = 3q^2, то есть (t+p) * (t-p) = 3q^2; две скобки левой
части (нечетные) в/п, т.к. в их сумме 2t и разности 2p нет общих нечетных
множителей. Множители числа q^2 разбредутся по скобкам парами; есть
два варианта размещения одинокого мн-ля 3: I) t+p = u^2, t-p = 3v^2, тогда
t = (u^2+3v^2)/2 и p = (u^2-3v^2)/2 = s^2, но 2s^2 + 3v^2 = u^2 невозможно -
s не кратно трем, потому слева 3N+2, справа же 3K+1 (противоречие);
II) t+p = 3u^2, t-p = v^2, тогда t = (3u^2+v^2)/2 и p = (3u^2-v^2)/2 = s^2, это
выполнимо: v^2 + 2s^2 = 3u^2, где v,s,u в/п числа, счастливо решается.
Из (u+m)^2 + 2(u-n)^2 = 3u^2 следует (m^2+2um) + 2 * (n^2-2un) = 0, т.е.
(4n-2m) * u = m^2+2n^2, u = (m^2+2n^2)/(4n-2m), v = (4mn-(m^2-2n^2))/(4n-2m),
s = ((m^2-2n^2)+2mn)/(4n-2m). Можно допустить любые m и n, если деление
на 4n-2m заменить делением на k, убирающим общие множители числителей;
будет u = (m^2+2n^2) : k, v = [4mn-(m^2-2n^2)] : k, s = [(m^2-2n^2)+2mn] : k.
Возвращаемся: p = s^2 = [(m^2-2n^2)^2 + 4mn(m^2-2n^2) + 4(mn)^2] : k^2 =
= [m^4 + 4nm^3 - 8mn^3 + 4n^4] : k^2, q = uv = [4mn(m^2+2n^2) - (m^4-4n^4)] : k^2
= [-m^4 + 4nm^3 + 8mn^3 + 4n^4] : k^2. Теперь осталось сложить и разнять:
A = (p+q)/2 = [8nm^3 + 8n^4] : 2k^2 = (4nm^3 + 4n^4) : k^2,
B = (p--q)/2 = [2m^4 - 16mn^3] : 2k^2 = (m^4 - 8mn^3) : k^2.
Отыскание C = st требует сначала найти t = (3u^2+v^2)/2 = p + v^2,
но усталость останавливает работу... Не одолеваю весь ее объем(((

Дополнен 2 месяца назад

При n = 1 будет (m^4 - 8m)^3 + (4m^3 + 4)^3.
Малые частные случаи:
(2^4 - 8*2)^3 + (4*2^3 + 4)^3 = 0^3 + 36^3 = 216^2
(3^4 - 8*3)^3 + (4*3^3 + 4)^3 = 57^3 + 112^3 = 1261^2
(4^4 - 8*4)^3 + (4*4^3 + 4)^3 = 224^3 + 260^3 = 5368^2
Формула действует...

Answer 1

Крут Крутов Ученик (140) 2 месяца назад

Не путайся

Леонид ЗайцевМыслитель (7030) 2 месяца назад

Не знаю, как заниматься (у меня мало сил, хворый я) -
потому прошу совета у понимающих...

Крут Крутов Ученик (140) Леонид Зайцев, Пример опасный не нагружайся

Леонид ЗайцевМыслитель (7030) 2 месяца назад

Нужна какая-то легкость изложения. Чтобы стих был естественным, Аполлон Майков советовал вносить в него обороты просторечия,
отчасти жертвуя возвышенным строем.

Леонид ЗайцевМыслитель (7030) 2 месяца назад

Надо все-таки завершить, найти C = st = s * (s^2 + v^2).
(A^3 + B^3) * k^6 = (4n^4 + 4nm^3)^3 + (m^4 -- 8mn^3)^3 =
= 64n^3 * (n^3 + m^3)^3 + m^3 * (m^3 -- 8n^3)^3 =
= 64U * (U+V)^3 + V * (V--8U)^3 =
= 64U * (U^3+3UUV+3UVV+V^3) +
+ V * (V^3--24VVU+192VUU--512U^3) =
= 64U^4 + 192VU^3 + 192(UV)^2 + 64UV^3 +
+ V^4 - 24UV^3 + 192(UV)^2 - 512VU^3 =
= [8U^2]^2 + [-V^2]^2 + [-20UV]^2 + 2*8U^2*(-V^2) +
+ 2*8U^2*(-20UV) + 2*(-V^2)*(-20UV) =
= [8U^2 - 20UV - V^2] ^ 2 = [8n^6 - 20(mn)^3 - m^6] ^ 2 .