Можно ли поставить отметку о гражданстве ребёнку не по месту прописки одного из родителей?

Можно.
По месту прописки другого (родителя).
А если серьёзно... По закону РФ ребёнок обязан быть прописан по месту прописки хотя бы одного из родителей или лиц, их заменяющих. Ну, или в детдоме (вроде).