Почему любая абелева группа не кольцо?

Question

Почему любая абелева группа не кольцо?

l ol Мыслитель (6901), на голосовании 1 месяц назад

Есть абелева группа по сложению. Сложение элемента с самим собой просто для удобства будем обозначать ak, где k - количество раз, которое сложили элемент а с самим собой. У нас получается ещё одна операция. И это все отвечает определению кольца(даже лишние свойства приятные есть). Так вопрос, как быть то? Или мы вводим таким образом как раз таки умножение, а значит создаём кольцо? Но ведь степени существует в теории групп(циклические группы там всякие). То есть, когда мы ими пользуемся, мы уже обращаемся с этим всем, как с кольцом . В общем, я запутался

Дополнен 2 месяца назад

Ладно, я бредятину сморозил. Все, разобрался, кажется.

Answer 1

В математике термин «кольцо» означает множество, над которым можно выполнять как минимум две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением. Однако важно отметить, что не все абелевы группы можно рассматривать как кольца. Причина в том, что группа - это только «множество с одной бинарной операцией», в данном случае - сложением. Чтобы расширить множество до кольца, необходимо ввести вторую бинарную операцию - умножение. Ключевое различие между абелевой группой и кольцом заключается в наличии этой дополнительной мультипликативной бинарной операции.

Answer 2

Обычно пишут ka.Это,вообще говоря,НЕ бинарная операция: первый элемент - целое число(элемент абелевой группы Z),второй - элемент вашей произвольной абелевой группы.Но Z - не только аддитивная группа,но и кольцо: в ней ЕСТЬ умножение.Таким образом,произвольную абелеву группу ВСЕГДА МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ как модуль над кольцом целых чисел.(Модуль - это обобщение векторного пространства,когда операторы образуют не поле,а просто кольцо.)