Построение тождества (a^2x^2+bx+N) (cx+d)^2 + 1 = (acx^2+gx+h)^2 на основе N*d^2 + 1 = h^2

Question

Построение тождества (a^2x^2+bx+N) (cx+d)^2 + 1 = (acx^2+gx+h)^2 на основе N*d^2 + 1 = h^2

Леонид Зайцев Мыслитель (7030), на голосовании 1 месяц назад

Как вести рассуждение, чтобы оно было прозрачным, доступным?
(корявое решение, приведенное тут, душу совсем не устраивает)...

Раскрытие скобок
(ac)^2*x^4 + (2a^2*cd+bc^2)*x^3 +
+ [(ad)^2+2bcd+Nc^2]*x^2 + (bd^2+2Ncd)*x + Nd^2 =
= (ac)^2*x^4 + 2acg*x^3 + (g^2+2ach)*x^2 + 2gh*x + h^2
приводит к системе требований

2a^2*cd + bc^2 = 2acg (I)
(ad)^2 + 2bcd + Nc^2 = g^2 + 2ach (II)
bd^2 + 2Ncd = 2gh (III)
Nd^2 + 1 = h^2 (IV)

Из (I) можно выразить g:
2a^2*d + bc = 2ag ведет к
g = ad + bc/(2a), это I '.
Внесем найденное g в (II) и в (III):
(ad)^2 + 2bcd + Nc^2 = [ad + bc/(2a)] ^ 2 + 2ach
есть bcd + Nc^2 = [bc/(2a)]^2 + 2ach, будет
bd + Nc = [b/(2a)]^2 * c + 2ah, это II '.
bd^2 + 2Ncd = 2*[ad+bc/(2a)]*h есть
bd + 2Nc = 2b/d * c/(2a) + 2ah, это III '.
Вычтем теперь III ' из II ' : получится
-Nc = [b/(2a)]^2 * c - 2 * h/d * b/(2a) * c.
Сократим, меняя части местами, и добавим (h/d)^2 :
[b/(2a)]^2 - 2 * h/d * b/(2a) + (h/d)^2 = (h/d)^2 - N есть
[b/(2a) - h/d] ^ 2 = (h^2-Nd^2)/d^2 = (1/d) ^ 2, потому
b/(2a) = h/d +- 1/d = (h+-1)/d ; отсюда b = 2(h+-1)*k, a = d*k.
Поскольку II ' есть [b/(2a)]^2 - N] * c = bd - 2ah,
находим c = (bd - 2ah) : [{(h+-1)/d}^2 - N] =
= [2(h+-1)d - 2dh]*d^2*k : [(h+-1)^2 - Nd^2] =
= [+-2d^3 * k] : [+-2h + 1^2 + (h^2-Nd^2)] = +-d^3 : (1+-h) * k ;
при верхнем знаке будет c = d^3/(h+1) * k,
а при нижнем с = d^3/(h-1) * k.
Мы нашли a,b,c; возвратимся теперь к I ', чтобы найти
g = ad + bc/(2a) = d^2 * k + 2(h+-1)/(2d) * d^3/(h+-1) * k = 2d^2 * k.
Внося a = d * k, b = 2*(h+-1) * k, c = d^3/(h+-1) * k, g = 2d^2 * k
в исходное (a^2*x^2 + bx + N) * (cx + d)^2 + 1 = (acx^2 + gx + h)^2,
мы можем вместо kx ставить просто Икс. Получается

[d^2*x^2 + 2(h+-1)*x + N] * [d^3/(h+-1) * x + d] ^ 2 + 1
=
[d^4/(h+-1)*x^2 + 2d^2*x + h] ^ 2 .

Когда либо h-1, либо h+1 полностью содержится в числе d^2, проблем нет
(есть ли такие случаи, не знаю - надо поинтересоваться хотя бы немного).

Дополнен 2 месяца назад

k = h+-1 убирает все трудности. Таким образом, любое Nd^2 + 1 = h^2 содержится
в полученной формуле (любое N можно будет выразить полиномом второй степени).
13*180^2 = 649^2 - 1^2 = 648*650, и 648 = h-1 содержится в d^2 = 180^2 = 648*50;
2(h-1) = 2*648 = 1296, d^3/(h-1) = 180*50 = 9000, d^4/(h-1) = 180*9000 = 1620000,
2d^2 = 2*32400 = 64800, и формула, способная дать 13*180^2 + 1 = 649^2, есть
(32400x^2 + 1296x + 13) * (9000x + 180)^2 + 1 = (1620000x^2 + 64800x + 649)^2.
(n^2+4) * [n*{(n^2+2)^2-1}/2]^2 + 1 = [(n^2+2)*{(n^2+2)^2-3]^2 не потребовалось,
мы обошлись четвертой степенью вместо двенадцатой. При x = 1 получим
33709 * 9180^2 + 1 = 1685449^2 (обмана нет).

Дополнен 2 месяца назад

Обозначив 36x как t, приходим к меньшим коэффициентам:
(25t^2 + 36t + 13) * (250t + 180)^2 + 1 = (1250t^2 + 1800t + 649)^2.
При t = -1 это 2 * 70^2 + 1 = 99^2. Взяв t-1 вместо t, приходим к
(25t^2 - 50t + 25 + 36t - 36 + 13) * (250t - 70)^2 + 1 =
= (1250t^2 - 2500t + 1250 + 1800t - 1800 + 649)^2, то есть к
(25t^2 - 14t + 2) * (250t - 70)^2 + 1 = (1250t^2 - 700t + 99)^2 ;
это, должно быть, минимальная форма первоначального...

Answer 1

Шаг 1. Определение переменных и условия

 У нас есть два выражения: 
(a^2 * x^2 + bx + N) * (cx + d)^2 + 1 = (ac * x^2 + gx + h)^2  
N * d^2 + 1 = h^2

Шаг 2. раскрытие скобок для 2 выражений

 Раскроем левую часть 1 уравнения:   
(a^2 * x^2 + bx + N) * (cx + d)^2 = a^2 * x^2 * (cx + d)^2 + bx * (cx + d)^2 + N * (cx + d)^2 
Оба произведения раскрываем:   
a^2 * x^2 * (cx + d)^2 = a^2 * x^2 * (c^2 * x^2 + 2cd * x + d^2) = a^2 * c^2 * x^4 + 2a^2 * cd * x^3 + a^2 * d^2 * x^2  
Так эе для остальных слагаемых:   
a^2 * c^2 * x^4 + (2a^2 * cd + bc^2) * x^3 + (a^2 * d^2 + 2bcd + Nc^2) * x^2 + (2Ncd + bd^2) * x + Nd^2  
Раскроем правую часть:   
(ac * x^2 + gx + h)^2 = (ac * x^2)^2 + 2acgx^3 + (gx)^2 + 2ac * h * x^2 + 2gh * x + h^2   
Приводим к общему виду:   
a^2 * c^2 * x^4 + 2acg * x^3 + (g^2 + 2ac * h) * x^2 + 2gh * x + h^2

Шаг 3. Составляем систему уравнений

 Теперь можно составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты при степенях x:   
a^2 * c^2 — это коэффициент при x^4, он совпадает, поэтому тут уравнения нет.   
Для коэф при x^3: 2a^2 * cd + bc^2 = 2acg — это первое уравнение.   
Для коэф при x^2: a^2 * d^2 + 2bcd + Nc^2 = g^2 + 2ac * h — это второе уравнение.   
Для коэф при x: bd^2 + 2Ncd = 2gh — это третье уравнение.   
Для свободного члена: Nd^2 = h^2 - 1 — это четвёртое уравнение.

Шаг 4. Упрощение системы

 Первое уравнение: 2a^2 * cd + bc^2 = 2acg. Выразим g через a, b, c и d: g = (a * d) / 2 + (bc) / (2a).  
Четвёртое уравнение: из N * d^2 + 1 = h^2 следует, что h = sqrt(N * d^2 + 1).  
Второе и третье уравнения используем для нахождения остальных переменных, подставляя выражения для g и h.

Шаг 5. Итог

 Если h = sqrt(N * d^2 + 1), это означает, что h и N связаны довольно жестко, что позволяет решать уравнение при определённых значениях N и d.

Построение тождества (a^2*x^2+bx+N) * (cx+d)^2 + 1 = (acx^2+gx+h)^2 на основе N*d^2 + 1 = h^2

Построение тождества (a^2x^2+bx+N) (cx+d)^2 + 1 = (acx^2+gx+h)^2 на основе N*d^2 + 1 = h^2