Можно ли получить больничный с копией полиса или с его номером с гос услуг?

Наверное можно, но только смысла особо нет. Этот больничный нужен вашему работодателю, а он и так в курсе про ваш больничных, они ему на его учетку организации приходят. Полис нужен лишь только для медицинского учреждения, чтоб знать, кому выставлять счета за ваше медицинское обслуживание. Вам лично ни больничный, ни полис по большому счету то и не нужны.