Вопрос к математикам. Математический анализ. 1 курс. Предел последовательности

Question

Вопрос к математикам. Математический анализ. 1 курс. Предел последовательности

artembezyo Профи (909), на голосовании 1 месяц назад

Подсознательно и из русского языка (предел - то есть что-то предельно) кажется, что в определенной последовательности предел - это самое большое или маленькое число во всей этой последовательности. Так и казалось после того, как в школе слегка затронули пределы. Но сегодня была первая пара по матану и я узнал определения "предела последовательности". Так оказывается, предел последовательности это не обязательно крайнее число??

Answer 1

например: N/(N+1) N стремящемся к бесконечности стремиться к 1, но никогда не дойдет до нее

Answer 2

А.. Это меньше любого наперед заданного числа. Тоже самое. Это на будущее для бесконечно малых. У юристов ничтожное число.

Answer 3

Не привязывайтесь к бытовым представлениям. Будут ещё и ростки в точке и тяжёлые хвосты и кососимметрические объекты...

Answer 4

ну, это в школе любят монотонные последовательности, да ещё и бесконечно малые -- с ними работать чуть проще.

мне нравится термин "точка сгущения" -- он по-русски передаёт суть предела, имхо.
вот предел последовательности -- это её точка сгущения, то есть точка, в любой окрестности которой лежит бесконечное число элементов последовательности.*)

представь себе, что ты стреляешь из автомата по мишени, и попадания подбираются всё ближе к её центру:

тут нельзя сказать, что какой-то элемент "больше" или "меньше" остальных, а точка сгущения явно просматривается.

*) тут надо отметить, что у последовательности может быть несколько точек сгущения, а, значит, не будет единого предела.
например, { aₙ = (-1)ⁿ + 1/n } имеет две точки сгущения, 1 и -1, а предела не имеет.
так что с этим надо обращаться аккуратно.