Можно ли во время нахождения на больничном прийти на работу и написать заявление на отпуск?

если период временной нетрудоспособности не вызван ампутацией ног/острым инфекционным заболеванием и т.п., то, наверное, можно и прийти.

Можно, если по режиму нет запрета на контакт с людьми.
А так, сейчас модно через ЭДО отправлять заявления работодателю.

Можете, никто вам этого не запрещает. Заявление когда угодно можете написать. Но, если работодатель закон соблюдает и предоставляет отпуска по графику, а вы желаете вне графика, то он имеет полное право в отпуске вам отказать. А, если не соблюдает закон, так и в принципе может в отпуске отказать.

выпьем же за то, чтобы наши желания совпадали с возможностями работодателя