Помогите найти производную н-го порядка

Правильно! Давай найдем производную n-го порядка.

1. Преобразуем функцию:

f(x) = 16 / (ln(10)(2x+7)^3) = 16 * ln(10)^-1 * (2x+7)^-3
2. Найдем производную:

Используем формулу для производной степенной функции:
(x^n)’ = n*x^(n-1)
И формулу для производной сложной функции: (f(g(x)))’ = f’(g(x)) * g’(x)
f'(x) = 16 * ln(10)^-1 * (-3) * (2x+7)^-4 * 2
3. Упрощаем:

f'(x) = -96 * ln(10)^-1 * (2x+7)^-4
4. Находим n-ю производную:

f^(n)(x) = (-1)^n * 96 * ln(10)^-1 * (n+2)! * 2^(n-1) * (2x+7)^(-n-3) / 3!
Объяснение:

(-1)^n: знак производной чередуется (плюс/минус).
96 * ln(10)^-1: константа, не меняется при дифференцировании.
(n+2)!: факториал (n+2), который возникает при дифференцировании степеней (2x+7).
2^(n-1): степень 2 возникает при дифференцировании (2x+7).
(2x+7)^(-n-3): степень (2x+7) с отрицательным показателем.
3!: факториал 3, чтобы учесть первоначальную степень (2x+7)^3.
Итого:

Формула для n-ой производной:

f^(n)(x) = (-1)^n * 96 * ln(10)^-1 * (n+2)! * 2^(n-1) * (2x+7)^(-n-3) / 3!
Пример:

Для 2-й производной (n=2):
f''(x) = (-1)^2 * 96 * ln(10)^-1 * 4! * 2^1 * (2x+7)^-5 / 3! = 768 * ln(10)^-1 * (2x+7)^-5
Надеюсь, это было понятно!