Чему равно выражение (1+i)^10

Чтобы найти значение выражения (1+i)^10, можно воспользоваться биномом Ньютона:

(1 + i)^10 = C(10,0)*(1^10)*(i^0) + C(10,1)*(1^9)*(i^1) + C(10,2)*(1^8)*(i^2) + ... + C(10,10)*(1^0)*(i^10)

где C(n,k) - биномиальный коэффициент "н выбора к".

Рассчитаем каждое слагаемое по отдельности:

C(10,0)*(1^10)*(i^0) = 1

C(10,1)*(1^9)*(i^1) = 10*i

C(10,2)*(1^8)*(i^2) = 45*(-1) = -45

C(10,3)*(1^7)*(i^3) = 120*(-i) = -120*i

C(10,4)*(1^6)*(i^4) = 210

C(10,5)*(1^5)*(i^5) = -252*i

C(10,6)*(1^4)*(i^6) = -210*(-1) = 210

C(10,7)*(1^3)*(i^7) = -120

C(10,8)*(1^2)*(i^8) = 45

C(10,9)*(1^1)*(i^9) = -10*i

C(10,10)*(1^0)*(i^10) = 1

Теперь сложим все полученные значения:

(1 + i)^10 = 1 + 10i - 45 - 120i + 210 - 252i + 210 - 120 + 45 - 10i + 1

(1 + i)^10 = 512 - 512i

Таким образом, значение выражения (1 + i)^10 равно 512 - 512i.

Можно было бы воспользоваться также формулой Де Муавра, однако в данном случае решение без использования тригонометрической формы хорошо иллюстрирует применение бинома Ньютона для комплексных чисел.

(1+i)^10 = [ (1+i)^2]^5 = (1+2i + i^2)^5 = (1+ 2i - 1)^5 = (2 i)^5 = 2^5 * i^5 = 32i
Ответ: 32i