Доказать, что 1/(n!) стремиться к нулю

Чтобы доказать, что \(\frac{1}{n!}\) стремится к нулю при \(n \to \infty\), мы можем воспользоваться свойствами факториала и следствием, что \(n!\) быстро возрастает с увеличением \(n\).

1. **Определение факториала**: Факториал \(n\) (обозначается как \(n!\)) определяется как произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\):
\[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1.
\]

2. **Рост факториала**: С увеличением \(n\) значение \(n!\) возрастает очень быстро. Например:
- \(1! = 1\)
- \(2! = 2\)
- \(3! = 6\)
- \(4! = 24\)
- \(5! = 120\)
- \(6! = 720\)
- \(7! = 5040\)
- ...
- Для \(n\) = 10, \(n! = 3628800\), и так далее.

Как видно, \(n!\) увеличивается быстрее, чем любая экспоненциальная функция.

3. **Предел**: Мы хотим показать, что \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0\).

По определению предела:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0
\]

Это значит, что для любого \(\epsilon > 0\) найдется такое \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется:
\[
\left| \frac{1}{n!} \right| < \epsilon.
\]

4. **Выбор \(N\)**: Поскольку \(n! > \left(\frac{n}{2}\right)^{n/2}\) для больших \(n\) (согласно неравенству Стирлинга), мы можем сказать, что
\[
\frac{1}{n!} < \frac{2^{n/2}}{n^n} \text{ для больших } n,
\]
что быстро уходит к нулю.

Например, для \(n > 5\), \(n!\) будет больше \(120\), и поэтому \(\frac{1}{n!} < \frac{1}{120}\). Таким образом, мы можем выбрать \(N = 5\) и гарантировать, что для всех \(n > N\), \(\frac{1}{n!} < \epsilon\) для любого положительного \(\epsilon\).

5. **Заключение**: Из приведенных рассуждений видно, что
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0.
\]

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{1}{n!}\) стремится к нулю при \(n \to \infty\):
\[
\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0.}
\]