Как расписать эту формулу циклом на js?

В любом сишном языке алгоритм один и тот же и лишь может записываться чуть-чуть по разному. Простой пример на JS:

 {
  let x = 0.95;
  let y = x * x;
  let p = x;
  let q = 0.0;
  let s = x;
  let e = 1.0;
  while (Math.abs(e) > 1e-17)
  {
    q += 2.0;
    p *= (1.0 - 1.0 / q) * y;
    e = p / (q + 1.0);
    s += e;
  } 
  console.log(s);
} 

С хорошим вводом-выводом, без такой вот вереницы let'ов или в виде отдельной функции всё, естественно, придётся переписывать, но общий подход как раз именно такой!