Можно ли отправить посылку по почте России в Луганскую область?

Запросто.

Можно

И в Луганскую и в Донецкую приходят (не смотря на отсутствие до сих пор индекса).

И достаточно дешево.

Только оформление идет не в личном кабинете, а именно на почте.