RobCo Industries
Ученик
(212)
1 месяц назад
Найдем решение однородного уравнения, соответствующего данному уравнению:
y' * tan(x) - y = 0.
Переписываем его в виде:
y' * tan(x) = y.
Разделим переменные:
dy / y = dx / tan(x).
Мы знаем, что 1 / tan(x) = cot(x), и поэтому:
∫ (1 / tan(x)) dx = ∫ cot(x) dx.
Интеграл от cot(x) равен ln|sin(x)|:
∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C.
Поэтому:
ln|y| = ln|sin(x)| + C.
Возводим обе стороны в экспоненту:
y = e^C * sin(x).
Обозначим e^C как K:
y = K * sin(x).
Найдем частное решение для полного уравнения:
y' * tan(x) - y = 1.
Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A, где A — константа. Подставляем это в уравнение:
0 - A = 1.
Это приводит к:
-A = 1,
A = -1.
Таким образом, частное решение y_p = -1.
Общее решение уравнения будет комбинацией общего решения однородного уравнения и частного решения:
y = K * sin(x) - 1.
Определим K с учетом начального условия y(n/4) = 1:
1 = K * sin(n/4) - 1.
Решаем это уравнение для K:
1 + 1 = K * sin(n/4),
2 = K * sin(n/4),
K = 2 / sin(n/4).
Итак, частное решение уравнения y' * tan(x) - y = 1, удовлетворяющее начальному условию y(n/4) = 1, будет:
y = (2 / sin(n/4)) * sin(x) - 1.
(Решение с объяснением)