Задача по высшей математике

Найдем решение однородного уравнения, соответствующего данному уравнению:

y' * tan(x) - y = 0.

Переписываем его в виде:

y' * tan(x) = y.

Разделим переменные:

dy / y = dx / tan(x).

Мы знаем, что 1 / tan(x) = cot(x), и поэтому:

∫ (1 / tan(x)) dx = ∫ cot(x) dx.

Интеграл от cot(x) равен ln|sin(x)|:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C.

Поэтому:

ln|y| = ln|sin(x)| + C.

Возводим обе стороны в экспоненту:

y = e^C * sin(x).

Обозначим e^C как K:

y = K * sin(x).

Найдем частное решение для полного уравнения:

y' * tan(x) - y = 1.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A, где A — константа. Подставляем это в уравнение:

0 - A = 1.

Это приводит к:

-A = 1,

A = -1.

Таким образом, частное решение y_p = -1.

Общее решение уравнения будет комбинацией общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = K * sin(x) - 1.

Определим K с учетом начального условия y(n/4) = 1:

1 = K * sin(n/4) - 1.

Решаем это уравнение для K:

1 + 1 = K * sin(n/4),

2 = K * sin(n/4),

K = 2 / sin(n/4).

Итак, частное решение уравнения y' * tan(x) - y = 1, удовлетворяющее начальному условию y(n/4) = 1, будет:

y = (2 / sin(n/4)) * sin(x) - 1.