Правда что имя Уильям это полное имя Билл?

Это два разных имени. Уильям - Уилл. Билл-Билли- Бенжамен

Раньше было сокращением, Уильям- Билл, Роберт- Боб. Но в последнее время у амеров страсть сокращать имена и многие стали полноценными. Как и в нашем случае. Кстати, есть даже интересные случаи, когда исконно наши, например, сокращеннное Саша иностранцы заимствуют, как полноценное имя

Уи́льям (Ви́льям, англ. William) — распространённое английское имя. Уменьшительные формы — Билл (англ. Bill), Билли (англ. Billy), Вилли (англ. Willie, Willy), Уилл (англ. Will).

Да это разные вариации имени Уильям.