Математика 8 класс олимпиадная

1. На свечке 19 детей встали в круг. Вожатый хочет раздать им веревочки
18 разных цветов, чтобы любые два ребенка держали одну веревочку с двух
концов. Получится ли у него это сделать так, чтобы каждый ребенок держал
веревочки всех цветов?
2. В графе степень всех вершин, кроме одной, равна 3. Степень оставшейся
вершины равна 1. Все рёбра покрасили в три цвета. Докажите, что найдётся
вершина степени 3, из которой выходят два ребра одного цвета.
3. В классе 10 человек. Серёжа заметил, что у всех его 9 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Серёжи? Укажите все
ответы.
4. В стране есть города и поселки. Между некоторыми населенными пунктами построены дороги. Известно, что есть 8 дорог, соединяющих города и 20
дорог, соединяющих поселки. При этом из каждого населенного пункта в
поселки выходит на одну дорогу больше, чем в города. Сколько всего населенных пунктов в стране?
5. Страна состоит из больших и малых городов. Каждый город (и малый, и
большой) соединён дорогами с тремя малыми городами и с тремя большими
городами. Докажите, что общее число городов в стране делится на 4.
6. В течение года проходил турнир по футболу, в котором участвовало 30 команд. За весь сезон каждая команда сыграла 82 матча. Можно ли разделить
команды на две группы так, чтобы количество матчей между командами из
разных групп было равно половине от общего числа матчей?