Олимпиада математика ВСОШ 9 класс
Известно, что уравнение x^2+(p+8)x+2q=0 не имеет решений, а уравнение 2x^2+qx-(p+8)=0 имеет два различных корня Найдите наименьшее целое значение выражения p+q, если p меньше q
(p+8)²-8q<0
q²+8(x+8)>0
или
(p+8)²-8q<0
-q²-8(x+8)<0
Cложим:
(p+8)²-q²-8(p+q+8)<0
(p-q+8)(p+q+8)-8(p+q+8)<0
(p+q+8)(p-q)<0
Т.к. (p-q)<0, то p+q+8>0
p+q>-8
Значит, потенциально минимальная целая сумма -7
Но надо еще пример построить.
Можно взять p=-15, q=8
upd/ Пример обязательно нужен, т.к. сложив неравенства мы от равносильности перешли в одностороннему следствию.
x² + (p+8)x + 2q = 0 → Δ₁ = (p+8)² − 8q < 0 → (p+8)² < 8q
2x² + qx − (p+8) = 0 → Δ₂ = q² + 8(p+8) > 0
p < q
p + q → min
p = −8, q = 1 → p + q = −7
(0)² < 8×1
1² > 0
p = −9, q = 1 → p + q = −8
(−1)² < 8×1
1² − 8 < 0
Минимум:
p + q = -7
Обозначим корни второго уравнения как x1 и x2. Тогда по формуле Виета:
x1 + x2 = -q/2 x1 * x2 = -(p+8)/2
Так как уравнение 2x^2 + qx - (p+8) = 0 имеет два различных корня, то дискриминант должен быть больше нуля:
q^2 + 42(p+8) > 0 q^2 + 8p + 64 > 0
Также, уравнение x^2 + (p+8)x + 2q = 0 не имеет решений, значит его дискриминант меньше нуля:
(p+8)^2 - 4*2q < 0 p^2 + 16p + 64 - 8q < 0 p^2 + 16p + 64 < 8q
Из этих двух неравенств можно составить систему:
q^2 + 8p + 64 > 0 p^2 + 16p + 64 < 8q
Рассмотрим первое неравенство:
q^2 + 8p + 64 > 0 q^2 > -8p - 64 q^2 > 8(-p - 8) q^2 > 8(p + 8)
Так как p < q, то p + 8 < q. Значит, q^2 > 8(p + 8) выполняется.
Теперь рассмотрим второе неравенство:
p^2 + 16p + 64 < 8q p^2 + 16p + 64 < 8(p + 8) p^2 + 16p + 64 < 8p + 64 p^2 + 8p < 0 p(p + 8) < 0
Отсюда получаем, что -8 < p < 0. Также, из неравенства q^2 > 8(p + 8) следует, что q > 0.
Подставим p = -1 и q = 1:
(p+q) = (-1 + 1) = 0
Таким образом, наименьшее целое значение выражения p+q равно 0.
Некоторые подумают, что это нейросеть. Очень похоже по стилю
Ну и, разумеется, ответ неверный.