Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Голосование за лучший ответ
Тадасана
(41289)
1 месяц назад
А тип коэффициентов в линейной комбинации дядя Ваня будет угадывать?
Группа (Z6, +) - циклическая и каждый ее элемент можно представить в виде линейной комбинации заданного произвольного образующего c коэффициентом из Z/6Z единственным образом.
"Типа, если она конечна, то порядок каждого элемента конечен, а значит базиса нет"
Если так рассуждать, то и в линейном пространстве над конечным полем базиса нет?
Группа (Z6, +) - циклическая и каждый ее элемент можно представить в виде линейной комбинации заданного произвольного образующего c коэффициентом из Z/6Z единственным образом.
"Типа, если она конечна, то порядок каждого элемента конечен, а значит базиса нет"
Если так рассуждать, то и в линейном пространстве над конечным полем базиса нет?
ТадасанаПросветленный (41289)
1 месяц назад
Ваше определение будет верным, если явно указать, что коэффициенты целые в ЛК.
"Кстати, с этим связано то, что свободная абелева группа тоже бесконечна? Типа, если она конечна, то порядок каждого элемента конечен, а значит базиса нет. Все верно?"
В тривиальной группе базис есть - это пустое множество. Тривиальная группа является свободной абелевой группой, в чем легко удостовериться, взяв "самое правильное" определение свободной абелевой группы через универсальное свойство теорката.
"Кстати, с этим связано то, что свободная абелева группа тоже бесконечна? Типа, если она конечна, то порядок каждого элемента конечен, а значит базиса нет. Все верно?"
В тривиальной группе базис есть - это пустое множество. Тривиальная группа является свободной абелевой группой, в чем легко удостовериться, взяв "самое правильное" определение свободной абелевой группы через универсальное свойство теорката.
ТадасанаПросветленный (41289)
1 месяц назад
Значит, не всякая свободная абелева группа бесконечна, а оба ваших определения надо уметь правильно читать.
Линейная комбинация (с целыми коэффициентами) элементов пустого множества дает нейтральный элемент.
Прямая сумма пустого множества бесконечных циклических групп дает тривиальную группу.
Линейная комбинация (с целыми коэффициентами) элементов пустого множества дает нейтральный элемент.
Прямая сумма пустого множества бесконечных циклических групп дает тривиальную группу.
l ol
Мыслитель
(6900)
Тадасана,
Я не знал, что могут быть коэффициенты другого типа. Мне ввели определение только с целыми числами
Ваше определение будет верным, если явно указать, что коэффициенты целые в ЛКА для коэффициентов другого типа оно будет уже неверным?
Значит, не всякая свободная абелева группа бесконечнаКак тогда она будет изоморфна Z^n?
оба ваших определения надо уметь правильно читатьЭто как?
Линейная комбинация (с целыми коэффициентами) элементов пустого множества дает нейтральный элементУ пустого множества нету элементов. И и причем тут вообще какое-то пустое множество?
ТадасанаПросветленный (41289)
1 месяц назад
Короче, единственная (с точностью до изоморфизма) конечная свободная абелева группа - это тривиальная группа, содержащая только нейтральный элемент.
В ней есть единственный базис, пустой.
Вопрос "зачем это нужно" аналогичен вопросу "зачем нужно 0-мерное линейное пространство" или, например, "зачем нужно тривиальное кольцо". Углубляться в него не хочется, но тривиальную группу по некоторым причинам удобно считать свободной абелевой.
В ней есть единственный базис, пустой.
Вопрос "зачем это нужно" аналогичен вопросу "зачем нужно 0-мерное линейное пространство" или, например, "зачем нужно тривиальное кольцо". Углубляться в него не хочется, но тривиальную группу по некоторым причинам удобно считать свободной абелевой.
l ol
Мыслитель
(6900)
Тадасана, так я не задавал вопрос, зачем это нужно, я задал другие вопросы
Похожие вопросы
В книге встретил такое: прямая сумма бесконечных циклических групп. Я верно понимаю, что это одно и то же?
Прямая сумма обеспечивает единственность. Группы циклические, ну то же самое, что линейная комбинация. А вот бесконечность связана с тем, что если циклическая группа не бесконечна, то представление одного и того же элемента будет не единственным, верно?
Кстати, с этим связано то, что свободная абелева группа тоже бесконечна? Типа, если она конечна, то порядок каждого элемента конечен, а значит базиса нет. Все верно?